复变函数课件6-4几个初等函数所构成的映射.pptxVIP

复变函数课件6-4几个初等函数所构成的映射

目录

contents

引言

初等函数映射

映射性质

映射应用

结论

CHAPTER

01

引言

01

02

03

01

02

03

掌握常见的初等函数在复平面上的映射规律。

理解复平面上的极坐标、角度、距离等概念。

能够运用所学的知识解决一些简单的复数问题。

CHAPTER

02

初等函数映射

指数函数

01

$zrightarrowe^z$，其定义域为全体复数，值域为全体实数。该映射将复平面映射到实数轴，复平面的无穷远点映射到实数轴上的无穷远点。

指数函数在复平面上的性质

02

指数函数在复平面上是全纯函数，其导数为自身，且在无穷远点处具有无穷大的导数。

指数函数的应用

03

指数函数在复分析、实分析、微积分等领域有广泛的应用，如求解微分方程、计算积分等。

三角函数

$zrightarrowsin(z)$和$zrightarrowcos(z)$，其定义域为全体复数，值域为全体实数。该映射将复平面映射到实数轴，复平面的无穷远点映射到实数轴上的无穷远点。

三角函数在复平面上的性质

三角函数在复平面上是全纯函数，其导数为余弦函数和正弦函数的组合，且在无穷远点处具有无穷大的导数。

三角函数的应用

三角函数在复分析、实分析、微积分等领域有广泛的应用，如求解微分方程、计算积分等。

CHAPTER

03

映射性质

连续性定义

如果对于任意给定的$epsilon0$，存在$delta0$，使得当$|z-z_0|delta$时，有$|f(z)-f(z_0)|epsilon$，则称函数$f(z)$在点$z_0$处连续。

连续性的几何意义

在复平面上，如果函数在某一点的值与邻近的值接近，则函数图像在该点附近是光滑的，没有间断。

CHAPTER

04

映射应用

量子力学

复变函数在量子力学中用于描述波函数，通过复平面上的映射关系，描述微观粒子的状态和行为。

电磁学

在电磁学中，复数和复变函数用于描述电场和磁场的变化，以及波动现象。

光学

光学中的波动理论使用复数和复变函数描述光的传播和干涉现象。

03

电路分析

在电路分析中，复数和复变函数用于描述交流电路的电压和电流。

01

控制系统

在工程控制系统中，复数和复变函数用于描述系统的传递函数和稳定性分析。

02

信号处理

在信号处理中，复数和复变函数用于频谱分析和滤波器设计。

VS

复变函数在求解某些微分方程时具有优势，如常微分方程的初值问题和偏微分方程的边值问题。

实分析

实分析中的一些概念和定理可以通过复变函数的映射关系得到推广和应用。

微分方程

CHAPTER

05

结论

学习了如何利用初等函数来构造复杂的映射。

理解了初等函数在复变函数中的应用和重要性。

掌握了几个初等函数所构成的映射的概念和性质。

将介绍更高级的复变函数，如全纯函数和亚纯函数。

将学习如何利用复变函数解决实际问题。

将探讨复变函数的积分和微分性质。

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