专练十 材料阅读(数论)(原卷版).pdf

中考数学改革重点题型专练

专练十、材料阅读（数论）

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1．如果一个自然数M能分解成p+q，其中p与q都是两位数，p与q的个位数字相同，十

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位数字之和为10，则称数M为“方加数”，并把数M＝p+q的过程，称为“方加分解”，

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例如：238＝12+92，12与92的个位数字相同，十位数字之和等于10，所以238是“方

加数”．

（1）判断212是否是“方加数”？并说明理由；

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（2）把一个四位“方加数”M进行“方加分解”，即M＝p+q，并将p放在q的左边组

成一个新的四位数N，若N能被7整除，且N的各个数位数字之和能被3整除，求出所

有满足条件的M．

2．一个自然数能分解成A×B，其中A，B均为两位数，A的十位数字比B的十位数字少1，

且A，B的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”．

例如：∵4819＝61×79，6比7小1，1+9＝10，∴4819是“双十数”；

又如：∵1496＝34×44，3比4小1，4+4≠10，∴1496不是“双十数”．

（1）判断297，875是否是“双十数”，并说明理由；

（2）自然数N＝A×B为“双十数”，N的百位及其以上的数位组成一个数记为p，N的

十位数字和个位数字组成的两数位记为q，例如：∵N＝23×37＝851，∴p＝8，q＝51；

又如：∵N＝61×79＝4819，∴p＝48，q＝19．若A与B的十位数字之和能被5整除，

且2p+q能被比B的个位数字大10的数整除，求所有满足条件的自然数N．

3．如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和

为10，百位数字与个位数字的差为1，那么称M为“和差数”．“和差数”M的千位数字

的二倍与个位数字的和记为P（M），百位数字与十位数字的和记为F（M），令G（M）

＝，当G（M）为整数时，则称M为“整和差数”．

例如：∵6342满足6+4＝10，3﹣2＝1，

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且P（6342）＝14，F（6342）＝7，即G（6342）＝2为整数，

∴6342是“整和差数”．

又如∵4261满足4+6＝10，2﹣1＝1，

但P（4261）＝9，F（4261）＝8，即G（4261）＝不为整数，

∴4261不是“整和差数”．

（1）判断7736，5352是否是“整和差数”？并说明理由．

（2）若M＝2000a+1000+100b+10c+d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9且a、

b、c、d均为整数）是“整和差数”，求满足条件的所有M的值．

4．对于任意实数a，b，定义一种新运算，记为a⊗b，当a≤b时，a⊗b＝a+b；当a＞b时，

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a⊗b＝a﹣b+4．（等号右边皆为通常的加法、减法和乘法）例如：对于2⊗3，因为2＜

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3，所以2⊗3＝2+3＝5；对于5⊗2，因为5＞2，所以5⊗2＝5﹣2+4＝25．

（1）求[（﹣1）⊗4]⊗（﹣）的值；

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（2）若x，y为非负整数，且x﹣y≤30，四位数M的百位数字为x，十位数字为y，千

位数字比百位数字小1，个位数字是十位数字的2倍，