有限单元法部分课后题答案.pdf

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１.1有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介

质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的?

(１)离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元,并在

其上设定有限个节点;用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体,而场函数的节点

值将成为问题的基本未知量。

(２）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即

通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因节点位移个数是有限的,故无限自

由度问题被转变成了有限自由度问题。

(３）有限元法的标准化程式:结构或区域离散，单元分析,整体分析,数值求解。

１.3单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质?各自的物理意义是什么?两者有何区别?

单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零)。整体刚度矩阵的性

质:对称性、奇异性、稀疏性。单元Ｋiｊ物理意义Ｋij即单元节点位移向量中第ｊ

个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时,在第ｊ个自由度方向引起的节点力。

整体刚度矩阵K中每一列元素的物理意义是:要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位

移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。

2．２什么叫应变能?什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述

问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？

(1)在外力作用下,物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起

来,这种能量称为应变能。

(2)外力势能就是外力功的负值。

（3）势能变分原理可叙述如下:在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件

的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零

δ∏p=δUε+δV=0

此即变分方程。对于线性弹性体,势能取最小值,即

δ2∏Ｐ=δ2Uε+δ2Ｖ≥０

此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。

势能变分原理代表平衡方程、本构方程和应力边界条件，其中附加了几何方程和位移边界条

件。

2．３什么是强形式?什么是弱形式?两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？

等效积分形式通过分部积分,称式

∫ΩCT(ｖ)Ｄ(ｕ)dΩ+∫ΓET（ｖ）F(u)ｄΓ

为微分方程的弱形式，相对而言，定解问题的微分方程称为强形式。

区别:弱形式得不到解析解。建立弱形式的关键步骤：对场函数要求较低阶的连续性。

2．4为了使计算结果能够收敛于精确解,位移函数需要满足哪些条件?为什么?

只要位移函数满足两个基本要求,即完备性和协调性,计算结果便收敛于精确解。

2．6为什么采用变分法求解通常只能得到近似解?变分法的应用常遇到什么困难？Ｒitz

法收敛的条件是什么?

（1)在Ｒitz法中，N决定了试探函数的基本形态，待定参数使得场函数具有一定的任

意性。如果真实场函数包含在试探函数之内，则变分法得到的解答是精确的；如果试探函

数取自完全的函数序列，则当项数不断增加时，近似解将趋近于精确解。然而,通常情况下

试探函数不会将真实场函数完全包含在内，实际计算时也不可能取无穷多项。因此,试探

函数只能是真实场函数的近似。可见，变分法就是在某个假定的范围内找出最佳解答，近似

性就源于此。

(2）采用变分法近似求解，要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。通常情

况下这是不可能的,因而变分法的应用受到了限制。

（3）Ritz法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满

足完备性和连续性的要求,当试探函数的项数趋近于无穷时,则Ritｚ法的近似解将趋近

于数学微分方程的精确解。

３.１构造单元形函数有哪些基本原则？

形函数是定义于单元内坐标的连续函数。单元位移函数通常采用多项式,其中的待定常数应

该与单元节点自由度数相等。为满足完备性要求，位移函数中必须包括常函数和一次式,

即完全一次多项式。多项式的选