非线性方程求根方法分解课件.pptxVIP

非线性方程求根方法分解课件

非线性方程概述迭代法牛顿法共轭梯度法拟牛顿法非线性方程求解方法的比较与选择目录

01非线性方程概述

一个方程，如果一个或多个变量的幂次是非线性，则该方程被称为非线性方程。非线性方程线性方程对比如果一个或多个变量的幂次是线性的，则该方程被称为线性方程。非线性方程与线性方程的主要区别在于变量的幂次。030201非线性方程的定义

只包含一个变量的非线性方程，例如y=x^2+3x+2。一次非线性方程包含多个变量的非线性方程，例如y^2=x^3+2x^2+3x+1。高次非线性方程包含超越函数的非线性方程，例如y=sin(x)+cos(x)。超越非线性方程非线性方程的分类

通过不断迭代来逼近方程的解。迭代法通过数学变换和公式来求解方程的解。解析法通过数值计算来求解方程的解。数值法非线性方程的解法概述

02迭代法

迭代法是一种求解非线性方程根的方法，通过不断迭代逼近方程的根。它基于一定的初始值，通过不断修正这个值，逐步逼近方程的根。迭代法的关键是选择合适的迭代公式和初始值。迭代法的定义

迭代法的分类简单迭代法基于线性逼近的迭代方法，如牛顿迭代法。加速迭代法通过引入加速因子等方法，提高迭代法的收敛速度，如共轭梯度法。非线性优化方法将非线性方程的求解转化为非线性优化问题，如拟牛顿法、信赖域法等。

迭代法的收敛性是指随着迭代的进行，迭代值是否能够收敛到方程的根。收敛性的分析涉及到迭代的收敛速度、收敛范围以及收敛条件等方面。对于不同的迭代法，需要进行具体的收敛性分析和证明。迭代法的收敛性分析

03牛顿法

牛顿法的定义牛顿法是一种迭代算法，用于求解非线性方程的根。它基于泰勒级数展开，通过迭代逼近方程的根。牛顿法以英国数学家艾萨克·牛顿的名字命名。

初始化迭代终止输出牛顿法的实现步骤根据牛顿法的迭代公式$x_{n+1}=x_n-frac{f(x_n)}{f(x_n)}$，计算下一个迭代点$x_{n+1}$。当迭代点$x_{n+1}$与当前点$x_n$之间的差小于预设的容差或达到预设的最大迭代次数时，停止迭代。返回最终的迭代点作为方程的根。选择一个初始点$x_0$，通常选择方程的某个近似值或随机值。

线性收敛牛顿法具有线性收敛速度，即随着迭代的进行，迭代点与根之间的距离以近似线性方式减小。局部收敛性当初始点$x_0$足够接近方程的根时，牛顿法能够收敛到根。二次收敛对于某些非线性方程，如果其导数存在且连续，则牛顿法具有二次收敛速度，即迭代点与根之间的距离以平方方式减小。牛顿法的收敛性分析

04共轭梯度法

共轭梯度法是一种迭代算法，用于求解非线性方程的根。它结合了梯度法和共轭方向法，利用目标函数的梯度和共轭方向来构造迭代方向。共轭梯度法的迭代方向不仅与当前点的梯度方向相关，还与历史迭代点的方向相关。共轭梯度法的定义

共轭梯度法的实现步骤初始化：选择一个初始点$x_0$，设置初始迭代方向$p_0$为负梯度方向$-nablaf(x_0)$。迭代：在迭代过程中，通过以下公式更新迭代点$x_{k+1}$和迭代方向$p_{k+1}$$$x_{k+1}=x_k+alpha_kp_k$$其中$alpha_k$和$beta_k$是步长和共轭参数，需要通过一定的条件来确定。终止：当迭代达到预设的精度要求或达到最大迭代次数时，停止迭代。$$p_{k+1}=-nablaf(x_{k+1})+beta_kp_k$$

在全局收敛性方面，如果目标函数满足一定的条件（如连续可微、非扩张等），则共轭梯度法能够收敛到方程的根。在局部收敛性方面，如果初始点足够接近方程的根，则共轭梯度法能够以二次收敛速度逼近方程的根。共轭梯度法具有全局收敛性和局部收敛性。共轭梯度法的收敛性分析

05拟牛顿法

拟牛顿法是一种迭代算法，用于求解非线性方程的根。它通过构造一个逼近于函数Hessian矩阵的近似矩阵来迭代更新解的近似值。拟牛顿法的名称来源于其使用拟牛顿方程来更新近似矩阵。拟牛顿法的定义

初始化选择一个初始点x0，以及一个初始的近似矩阵H0。迭代对于k=0,1,2,...，进行以下步骤拟牛顿法的实现步骤

2.计算拟牛顿方程的解Δxk，使得HkΔxk=-gk。3.更新近似矩阵Hk+1=Hk+ΔxkTkΔxk。4.更新解的近似值xk+1=xk+Δxk。当满足停止准则时，迭代停止，并返回近似解xk+1牛顿法的实现步骤

拟牛顿法具有全局收敛性和局部超线性收敛性。全局收敛性意味着随着迭代次数的增加，近似解会逐渐接近于真实解。局部超线性收敛性意味着当迭代点足够接近真实解时，拟牛顿法的收敛速度是指数级的。拟牛顿法的收敛性分析

06非线性方程求解方法的比较与选择

迭代法01迭代法是一种通过不断逼近方程的解来