一类平面向量面积比问题的解决方法.docx

—类平面向量面积比问题的解决方法

P(x,y),A(＄心），·:陨 ＋2沌＋3陀＝0,:.(s-

x,v-y)＋2（一x,-y)+3(a-工,-y)-(0,0)，从而有v-y-2y-3y=O，则有v=6y，由于t::.PBC与心ABC等底边，所以S凶贮：S丛比＝y6y=1:6，同理，分别以CA.AB所在的直线为工轴，建立直角坐标系，易得Sam, S丛丈＝2，6=,1 3,

Sa,趴，S丛阮＝3I6=1I2,:.s”反：S丛氏＝3.

3 榷广

使数学解题方便顺手，是问题推广的目的之一．为此利用上述结论来解决一些数学竞赛题与高考模拟题．

例2 (2011全国高中联赛湖北预赛）巳知P

是6ABC所在平面上的一点，清足亢l＋下飞＋2ff

=3戏，则心ABP面积与!::,ABC面积之比为

解：将冗I＋阿 ＋2陀＝3万，化为万if+n

+2冗＝3吁＋3丙．从而有4陨－2丙＋2冗

从特殊引向一般，从低维拓展高维，改变命题的

条件，加强命题的结论，考虑命题的反面问题等等都

＝5，由推广2,S心8PI

: 4 1

S 4++2心仄＝－－2－－

S 4++2

可以看作命题的推广．数学的创新思想往往从这里人手．为此，可以将例1问题一般化

推广1 设点P在t:,.ABC内部，m,n,kER飞

且满足m冗t+n丙扣－K页乒玉，则它们的面积之

例3 设a,b,c分别为!:,.ABC三边的长，P是

!:,.ABC的重心，若aPA+b丙J+c页 =ii,Ji!

!:,.ABC的形状是

解：由推广1,．．sA．PAB1S心ACIS凶配＝Cb

为S凶心，S”“, S“ BC=,K

n,m.

, a，而S妞.=s叩,·=S叩IC?所以a=b=c，故

证明：以B为坐标原点，以BC所在的直线为工轴，建立如图2所示的宜角坐标系，设C(a,O),

P(x,y),A(s,v),·:m两＋n丙＋k陀＝5．．m．($．

-x,v-y)+n（一工，一y)+k(a-:r，－y)=(0,0),

o从而有mv-my-ny-ky一，则有v=(m+n+k)y

o

m

由于t:,.PBC与么从充等底边，所以S凶配，S丛汇＝

.m+n+k_ m

竺 C为等边三角形

5 编习

有指导的数学练习，是学生巩固知识、形成技能培养能力的重要途径．为此特选择下面两例

练习1 (2012双流三模）设D为6.ABC的边

AB上一点，P为!:,.ABC内一点，且清足劝＝f邓．

y· m.,

y=m+n+it，同理，分别以CA,AB所在

邓＝邓 ＋匀配，则盗竺＝（ ）

s (m+n+k)y n丛氐＝y，的直线为工轴，建立直角坐标系，易得

s (m+n+k)y n丛氐＝y，

n 气石干冗s,,.,肛 ，S“应

8

15

5 S”

B7

B

15

C..2;. 一3

D.5 10

D.

=y?于 ＝土 ，．s．凸P．AB, S凸水 ＇

sl!,PBC=knm.

对于推广1略作变形，

变式1(2008南大自主招生）t:,.ABC中任取一点0，用S,,Ss,Sc分别表示t:,.BOC，t:,.COA,t:,.AOB的面积，求证，s.?+s.?oo+Sc·衣；

=O.

变式2 p为丛ABC的内心已a冗r+b丙；十

c陀＝5

推广2设点P为t:,.ABC所在平面内一点，m,n,“九，且满足m冗r+n万扣一”=o，则它们的面积之比为S釭心s凶.CIs心忙＝lklIlnl11ml.

提示：当m,n,k.ER十时，由推广1显然成立；当m,n,k中有负值时，则点P在MBC外部，证明同推广1，此处略

4 应用

觞习2 (2013北京东直门学校月考）设点0

在!:,.ABC内部，且满足@+200+3石=ii，则

6