一个最大角定理及其有趣推论.docx

— 个 最 大 角 定 理 及 其 有 趣 推 论

位于AB左上方或右上方时，乙BPA取得最大

值． k k

证明 由题意知Yi=.:.::...,y2=—，由上述

P(m,O)位千AB的左下方或右下方时，乙BPA

取得枭大值，

＠若点A、B在x轴下方，则当且仅当m

定理得

X1 功

满（足m+璧）2=Y1Y（2[ 飞了2）+1)且点

kx1 kx2 2 2

P(m,O)位千AB左上方或右上方时，LBPA取

勹了）＝｀ 飞）＋

得般大值

2.. 2

＝

＝一

证明：因为X1 切，功＝Y2，由上述定

1 2p 2p

==[m-(x叶功）］2 =x1x2+-?-::-

”“迈

理得 2

yl

y2..

U2,..

y2l

( Y2军UI 邧2 茄飞 2

推论3 设点A(X1,Y1)和点B（切，1／2)是函数y=x! 图像上的 两点，工心2,f.O,P(m,O)是工

m- 扔一 r = Y1Y（2[ 二 ）＋1l

轴上的 一动点，则当且仅当m满足(m +y1迈2）

=Y11J2[如＋切）2+1]且点P(m,O)位千AB的左

下方或右下方时 ，乙BPA取得扆大值

= [m- ;1:!二；；］）2=如［2{ 晶生］扑

= (m＋譬）2气『1（甘（宁）2+1],

证明．由题意知工l＝叶，功＝砖，由上述

则(rn－飞言尸）

（言浔可）

定理得

（ ＝如（叭

（ ＝如（

2 2 22

2= 即 2[

有了上述 定理及其推论，我们可很方便地解决一些问题，下面略举数例说明

一的Yl

＂尸 加一91 ) 2[

岊）＋1]==

例1 已知点A(l,1)和点B(3,2),在工轴上

m(- 叨如－即）2=y心［如＋即）2＋1l=今

即－yl)

(m＋如寸＝如2[(y1+y汾＋l上

求一点P，使乙APB取得最大值

解因为叩＝l,Yl=l心2=3,y沪＝2,由题意及本文定 理得

满足推论4 设点A也，功）和点B(工2，切）是祸数y＝沪图像上的两点，且YI,f.Y2,艾心2,f.0,

满足

P(m,O)是x轴上的一动点，则当且仅当m

(m-lx :勹x 1)2 =1x

=-m＝一1士J而．

（2[

启）2 +1)

戒 －一2x心2— m-x扛=0且点P

戒 －一2x心2

工1＋功

的左下方或右下方时，LBPA取得簸大值

证明 由题意知yl＝叶，加＝x,由上述

由题怠知点P(m,O)位千AB的右下方时，

乙BPA取得录大值，故当m= 一1+v!fo时，乙APB取得最大值

例2 经过抛物线沪＝4x的准线和：E轴

定理得

的交点E

1

作斜率为－的直线，和抛物线相交千

2

(m－工中 了）2＝伞［呾（声）2+1)

A、B两点，P(m,O)是五自上一动点，当m为何值时L.BPA取得恐大值

p

= (m－告 ）；胪(X;1+X2X2)2

解 因为2p=4, =1,故知点E(-1,0),

2 1

2 2x1心 ．2_2

＝夕m - m－气x

所以直线AB的方程为y=2(x+1)，即x=

=O.XJ

=O.

挫论5设点A（兀1,则和点B（功，即）是抛物线沪＝2px图像上的两点，且点A、B在4轴的同一倒，P(m,O)是叶日上的一动点

＠若点A、B在兀轴上方，则当且仅当m

满（足m+璧）2==Y1Y（2[包芒）2+1]且点

2y- l代人抛物线方程整理得y2-8y+4=0,

一由韦达定理和推 论5得

一

(m叶）2 =4低）2+1] m =－1士2V5

由题意知点P(m,0)位千AB的右下方时，乙BPA取得缎大值，故当m＝一1+2v5时，乙BPA取得最大值