第四章-留数定理及其应用.pptVIP

**第四章留数定理及其应用本章主要内容：1.留数的定义2.留数定理、留数的计算3.利用留数定理计算围线积分4.利用留数定理计算实积分§4.1留数定理一.留数的定义设z0为f(z)的孤立奇点，f(z)在z0的去心邻域内有洛朗展式:称为f(z)在z0点的留数，记作Resf(z0).即，留数是(孤立奇点洛朗级数的)负一次幂的系数.Q:为什么强调z0孤立奇点？e.g.f(z)在解析,则沿对f(z)积分，有Tips：由复连通区域的柯西积分定理知，留数的值与圆c的半径ρ无关.证明:对复变函数f(z)积分：二.留数定理得证！定理4.1(多个奇点的留数定理)设f(z)在曲线c所围闭域上除了D内的有限个奇点外均解析，则证明：分别以zk为中心作小圆周ck.定理得证.(复连通区域柯西积分定理)(单奇点留数定理)由留数定理＋泰勒展开，可反推出柯西积分公式和解析函数的无穷可导公式可以看作是留数定理的变形.②解析函数的无穷可导公式：①解析函数的柯西积分公式：如何证明？1.极点处的留数的计算公式I若z0是f(z)的m阶极点，则从右往左,利用留数的定义和洛朗展开证明.三.留数的计算b.利用留数定理+解析函数求导公式特别的，若z0是f(z)的单极点，则公式II若,其中P(z)和Q(z)均在z0点解析，且，则证明：由公式I如何判断极点z=z0的阶数？例4.1求例4.2求例4.3求例：z0是函数f(z)的m阶极点，是g(z)的n阶零点(mn)，判断z0极点/零点阶数：留数：负一次幂的系数.2.直接应用留数的定义.例4.4求例4.5求适用于所有的孤立奇点类型;特别是本性奇点或性质不明的奇点.2.另一个定义:在无穷远点的去心邻域,若f(z)的洛朗展式为：1.定义:设是f(z)的孤立奇点,在圆周的外部没有其他奇点.无穷远点的留数值的定义为：四.无穷远点处的留数则无穷远点的留数值为：Tip1:无穷远点去心邻域,也是以为中心的环域.但该区域与的展开式并不相同.Tip2:与有限远奇点不同，即使无穷远点是f(z)的可去奇点，仍可能不等于0.即，无穷远点的留数值f(z)在环域的洛朗展开式的负一次幂的系数乘以(－1)例：※回顾:无穷远点奇点类型的判定?证明：沿逐项积分,并由例2.2,得：例:,则？×定理4.2如果f(z)在扩充复平面上只有有限个奇点，则f(z)在所有奇点(包括无穷远点在内)的留数之和为零.如何证明？例4.6，求例：若f(z)=tanz，是否能求出Resf(∞)?Tips：注意非孤立奇点的情况！例4.7计算积分例4.8计算积分五.利用留数定理计算复积分例4.*计算积分类型I,其中是