第四章--数理方法-留数定理.pptVIP

第一篇复变函数论第四章留数定理§4.1留数定理二、函数在无穷远点的留数三、单极点处留数的计算四、举例§4.2应用留数定理计算实变函数定积分一、思路:实函数定积分转换为复函数回路积分二、应用留数定理计算实变函数的几个类型三、约当引理1、约当引理的表述3、实轴上有单极点的情形本章练习（P55）1（4）、2（3）；（P64）2（5）；数学物理方法如果，是以原点为圆心位于上半平面的半径为的半圆，如图4.7所示，若当在上半平面和实轴上时，一致，则：yxCR图4.7－RR+RO证明：（1）当在上半平面和实轴上时，一致，所以，（2）在范围内，有，则★即：数学物理方法★如果m是负数2、约当引理的应用{在上半平面所有奇点留数之和}{在上半平面所有奇点留数之和}★因此，对于类型3有{在上半平面所有奇点留数之和}★同理可得数学物理方法数学物理方法★在实轴无极点，在上半平面有单极点，其留数为：例6，解：数学物理方法★在实轴无极点，有两个二阶极点，在上半平面留数为例7，解：{在上半平面所有奇点留数之和}考虑积分，被积函数在实轴上有单极点，除此之外，满足类型2和类型3的条件，由于存在这个奇点，我们构建如图4.8所示的积分闭合回路。则，图4.8数学物理方法图4.8数学物理方法数学物理方法例8，解：解法一，利用实轴上有单极点情形讨论的结果可知：**数学物理方法上海范师大学数理学院物理系梁昆淼编(第四版)高等教育出版社主讲：冯杰数学物理方法第四章留数定理§4.2应用留数定理计算实变函数定积分§4.1留数定理*§4.3计算定积分的补充例题一、留数与留数定理数学物理方法1、留数的来历——始于f(z)的奇点★内、外境界线逆时针积分相等。←逆时针逆时针→★如果z0ll0图4.1★柯西定理的含义数学物理方法★如果z0ll0图4.1★得★又由P28的柯西积分得★即，由P28的柯西积分得★即得孤立奇点z0的留数，由P25的柯西定理设