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大一高数上-ppt课件-第三章

CONTENTS

第三章导言

函数与极限

导数与微分

导数的应用

习题解答

第三章导言

01

第三章主要介绍了函数的极限和连续性，是高等数学中的基础概念。

通过学习这一章，学生将了解函数的变化趋势，掌握判断函数极限的方法，并理解连续性的概念及其几何意义。

掌握极限的定义和性质，理解极限存在的条件。

理解连续性的概念，掌握判断函数连续性的方法。

能够运用极限和连续性的知识解决一些实际问题。

极限的定义与性质

连续性的概念与性质

极限与连续性的关系

实际应用举例

第一节

第二节

第三节

第四节

函数与极限

02

函数定义

01

函数是数学上的一个概念，它描述了两个变量之间的关系。一个变量随着另一个变量的变化而变化。

函数的性质

02

函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和对称性等。这些性质描述了函数在特定条件下的行为特征。

函数的表示方法

03

函数的表示方法包括解析法、表格法和图象法。解析法是用数学表达式表示函数，表格法是用表格列出函数的值，图象法是用图形表示函数。

极限的性质

极限的性质包括唯一性、有界性、局部保号性和四则运算性质等。这些性质描述了极限在特定条件下的行为特征。

极限的表示方法

极限的表示方法包括数列的极限和函数的极限。数列的极限用“lim”表示，函数的极限用“lim(x→a)”表示。

极限的定义

极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了当自变量趋近某一值时，函数值的变化趋势。

极限的四则运算

极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。

极限的复合运算

复合运算法则是将多个基本运算组合在一起进行计算的方法。在极限运算中，复合运算法则可以将多个极限运算组合在一起进行计算。

极限的求法

求极限的方法有很多种，包括直接代入法、约分法、等价无穷小代换法、洛必达法则和泰勒公式等。这些方法可以根据不同的情况选择使用，以便更快速地求出极限的值。

导数与微分

03

导数的定义

导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。

导数的几何意义

导数在几何上表示曲线在某一点的切线斜率。

导数的性质

导数具有可加性、可乘性和可导性等性质，这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面有重要作用。

基本初等函数的导数

对于常数、幂函数、指数函数、三角函数等基本初等函数，可以推导出它们的导数公式。

导数的四则运算法则

通过函数的加、减、乘、除等运算，可以求得复合函数的导数。

链式法则

对于复合函数的导数，可以利用链式法则进行计算。

01

微分是函数在某一点附近的小增量，表示函数值随自变量变化的近似值。

微分的定义

02

微分在几何上表示曲线在某一点附近的切线部分长度。

微分的几何意义

03

微分具有线性、可加性和可微性等性质，这些性质在近似计算、误差估计和优化问题等方面有广泛应用。

微分的性质

导数的应用

04

罗尔定理

若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，开区间$(a,b)$上可导，且$f(a)=f(b)$，则存在$cin(a,b)$，使得$f(c)=0$。

拉格朗日中值定理

若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，开区间$(a,b)$上可导，则存在$cin(a,b)$，使得$f(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

当所求极限的函数形式为$frac{u}{v}$时，如果满足一定条件（例如$u,v$的极限都存在，且$v$不为0），则可以应用洛必达法则求极限。

洛必达法则有两种形式：洛必达第一法则和洛必达第二法则。洛必达第一法则适用于$u,v$都为0的情况，而洛必达第二法则适用于$u,v$都不为0的情况。

1

2

3

如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0，则函数在此区间单调递减。

导数可以用来研究函数的单调性

函数的极值点一定是其导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点。因此，需要进一步判断。

导数可以用来研究函数的极值

如果函数在某区间的二阶导数大于0，则函数在此区间凹；如果二阶导数小于0，则函数在此区间凸。

导数可以用来研究曲线的凹凸性

习题解答

05

理解函数的定义，掌握函数的表示方法，理解函数的奇偶性、周期性和单调性等性质。

01

02

03

04

掌握函数的概念、性质和图像，理解极限的定义和性质，掌握求极限的方法。

理解极限的定义，掌握极限的四则运算和性质，理解无穷小量和阶的概念。

掌握利用极限的四则运算、等价无穷小量替换、洛必达法则等方法求极限。

总结词

极限的定义和性质

函数的概念和性质

求极限的方法

总结词

理解导数的概念和性质，掌握求导法则和微分运算，理解微分中值定理和导数的几何意义。

导数的概念和性质

理解导数的定义，掌握导数的几何意义和物理意义，理解可导与连续的关系。

求导