3.1.1 函数的概念9题型分类（原卷版）.docx

3.1.1函数的概念9题型分类

一、函数的概念

(1)函数的概念

函数的定义

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

函数的记法

y＝f(x)，x∈A

定义域

x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域

函数值

与x的值相对应的y值

值域

函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集

(2)函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可．

二、区间的概念

(1)设a，b是两个实数，而且ab.我们规定：

①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]；

②满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)；

③满足不等式a≤xb或ax≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b].

这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.

实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．

满足x≥a，xa，x≤b，xb的实数x的集合，用区间分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b).

(2)区间的几何表示

在用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点．

区间

数轴表示

[a，b]

(a，b)

[a，b)

(a，b]

(3)含“∞”的区间的几何表示

区间

数轴表示

[a，＋∞)

(a，＋∞)

(－∞，b]

(－∞，b)

注意：(1)无穷大“∞”只是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则．

(2)以“－∞”或“＋∞”为区间一端时，这一端必须用小括号．

三、同一个函数的判定

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数．

四、常见函数的值域

(1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.

(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a0时，值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，当a0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).

（一）

函数关系的判断

1、判断一个对应关系是否是函数的两个条件

(1)A，B必须是非空数集．

(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与其对应．

对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．

2、根据图形判断对应关系是否为函数的方法

(1)任取一条垂直于x轴的直线l.

(2)在定义域内平行移动直线l.

(3)若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数，如图所示：

题型1：函数关系的判断

1-1．【多选】（2023秋·全国·高一期中）下列各图中，可能是函数图象的是（????）

A．?? B．??

C．?? D．??

1-2．【多选】（2023·全国·高一假期作业）下列是函数图象的是（????）

A． B．

C． D．

1-3．（2023秋·江苏徐州·高一统考期中）已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（????）

A． B．

C． D．

1-4．（2023秋·高一课时练习）判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数.

(1)，，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；

(2)，，对应法则，，；

(3)，，对应法则，，；

(4)三角形，，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应.

（二）

求函数的定义域

求函数定义域的常用方法

(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．

(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．

(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．

(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．

(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．

注：求定义域时要将结果写成集合或区间形式.

题型2：求具体函数的定义域

2-1．（河南省新乡市卫辉市第一中学等2校2022-2023学年高一上学期期末数学试题）函数的定义域为．

2-2．（2023秋·四川成都·高一校考开学考试）函数的定义域是.

2-3．（2023秋·四川南充·高一阆中中学校考开学考试）函数的定义域为．

2-4．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）函数的定义域为（????）

A． B．

C．且 D．且

2-5．（2