模型39 数轴上动点问题（解析版）.docx

1．数轴

（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．

数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．

（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）

（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．

?（4）数轴上两点间的距离公式：AB=XB-XA(即：右端点减左端点）

?（5）数轴上中点数公式：XM

例题精讲

例题精讲

【例1】.如图，点A在数轴上表示的数为﹣3，点B表示的数为2，点P在数轴上表示的是整数，点P不与A、B重合，且PA+PB＝5，则满足条件的P点表示的整数有___________.

解：∵PA+PB＝5，

∴点P在A，B两点之间，A，B两点之间的整数有﹣2，﹣1，0，1，

?变式训练

【变式1-1】．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，AB＝15，且OA＝2OB，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝2.5或5.5．

解：∵AB＝15，OA＝2OB，

∴AO＝AB＝10，BO＝AB＝5，

∴A点对应数为﹣10，B点对应数为5，

设经过t秒，则AP＝＝，OP＝5+4t，BP＝5+4t﹣（5+2t）＝2t，

当t≤15时，

3AP+2OP﹣mBP

＝45﹣3t+10+8t﹣2mt

＝（5﹣2m）t+55，

∴当5﹣2m＝0，即m＝2.5时，3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化，

当t＞15时，

3AP+2OP﹣mBP

＝3t﹣45+10+8t﹣2mt

＝（11﹣2m）t﹣35，

∴当11﹣2m＝0，即m＝5.5时，上式为定值﹣35，也不随t发生改变，

故m为2.5或5.5．

故答案为：2.5或5.5．

【变式1-2】．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，﹣8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位．

（1）若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距46个单位？

（2）若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？

（3）当时间t满足t1＜t≤t2时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出t1，t2的值．

解：（1）设运动时间为t秒，

由题意可得：6+8+2t+6t＝46，

∴t＝4，

∴运动4秒，点M与点N相距46个单位；

（2）设运动时间为t秒，由题意可知：M点运动到6+2t，N点运动到﹣8+6t，P点运动到t，

由t＝﹣8+6t可得t＝1.6，

当t＜1.6时，点N在点P左侧，若MP＝NP，则t﹣（﹣8+6t）＝6+2t﹣t，

解得t＝（s）；

当t＞1.6时，点N在点P右侧，若MP＝NP，则﹣8+6t﹣t＝6+2t﹣t，

解得t＝（s），

∴运动s或s时，点P到点M，N的距离相等；

（3）由题意可得：M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小，

M、N两点距离最大，M、P两点距离最小，可得出M、P两点向右运动，N点向左运动

①当t1＝4s时，P在4，M在14，N在﹣32，

再往前一点，MP之间的距离即包含10个整数点，NP之间有47个整数点；

②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动，P点向右运动，

若N点移动到﹣33时，此时N、M之间仍为47个整数点，

若N点过了﹣33时，此时N、M之间为48个整数点

故t2＝+4＝（s），

∴t1，t2的值分别为4s，s．

【例2】．如图，周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A，B，C，D，E，F，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么落在数轴上﹣2023的点是点D．

解：由图形可知，旋转一周，点B对应的数是1，点C对应的数是0，点D对应的数是﹣1，点E对应的数是﹣2，点F对应的点为﹣3，点A对应的点为﹣4，

继续旋转，点B对应的点为﹣5，点C对应的点为﹣6．

∵2023÷6＝337…1，

∴数轴上表示﹣2025的点与圆周上点D重合．

故答案为：点D．

?变式训练

【变式2-1】．在数轴上，点A，O，B分别表示﹣15，0，9，点P，Q分别从点A，B同时开始沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒4个单位，点Q的速度是每秒1个单位，运动时间为t秒．若点P，Q，O三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点，则运动时间为或或秒．

解：由题知，P点对应的数为：﹣15+4