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1.数轴
(1)数轴的概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
数轴的三要素:原点,单位长度,正方向.
(2)数轴上的点:所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但数轴上的点不都表示有理数.(一般取右方向为正方向,数轴上的点对应任意实数,包括无理数.)
(3)用数轴比较大小:一般来说,当数轴方向朝右时,右边的数总比左边的数大.
?(4)数轴上两点间的距离公式:AB=XB-XA(即:右端点减左端点)
?(5)数轴上中点数公式:XM
例题精讲
例题精讲
【例1】.如图,点A在数轴上表示的数为﹣3,点B表示的数为2,点P在数轴上表示的是整数,点P不与A、B重合,且PA+PB=5,则满足条件的P点表示的整数有___________.
解:∵PA+PB=5,
∴点P在A,B两点之间,A,B两点之间的整数有﹣2,﹣1,0,1,
?变式训练
【变式1-1】.如图,点O为原点,A、B为数轴上两点,AB=15,且OA=2OB,点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动,当点P开始运动时,点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动,设运动时间为t秒,若3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化,则m=2.5或5.5.
解:∵AB=15,OA=2OB,
∴AO=AB=10,BO=AB=5,
∴A点对应数为﹣10,B点对应数为5,
设经过t秒,则AP==,OP=5+4t,BP=5+4t﹣(5+2t)=2t,
当t≤15时,
3AP+2OP﹣mBP
=45﹣3t+10+8t﹣2mt
=(5﹣2m)t+55,
∴当5﹣2m=0,即m=2.5时,3AP+2OP﹣mBP的值在某段时间内不随着t的变化而变化,
当t>15时,
3AP+2OP﹣mBP
=3t﹣45+10+8t﹣2mt
=(11﹣2m)t﹣35,
∴当11﹣2m=0,即m=5.5时,上式为定值﹣35,也不随t发生改变,
故m为2.5或5.5.
故答案为:2.5或5.5.
【变式1-2】.已知数轴上两点A、B对应的数分别是6,﹣8,M、N、P为数轴上三个动点,点M从A点出发,速度为每秒2个单位,点N从点B出发,速度为M点的3倍,点P从原点出发,速度为每秒1个单位.
(1)若点M向右运动,同时点N向左运动,求多长时间点M与点N相距46个单位?
(2)若点M、N、P同时都向右运动,求多长时间点P到点M,N的距离相等?
(3)当时间t满足t1<t≤t2时,M、N两点之间,N、P两点之间,M、P两点之间分别有47个、37个、10个整数点,请直接写出t1,t2的值.
解:(1)设运动时间为t秒,
由题意可得:6+8+2t+6t=46,
∴t=4,
∴运动4秒,点M与点N相距46个单位;
(2)设运动时间为t秒,由题意可知:M点运动到6+2t,N点运动到﹣8+6t,P点运动到t,
由t=﹣8+6t可得t=1.6,
当t<1.6时,点N在点P左侧,若MP=NP,则t﹣(﹣8+6t)=6+2t﹣t,
解得t=(s);
当t>1.6时,点N在点P右侧,若MP=NP,则﹣8+6t﹣t=6+2t﹣t,
解得t=(s),
∴运动s或s时,点P到点M,N的距离相等;
(3)由题意可得:M、N、P三点之间整数点的多少可看作它们之间距离的大小,
M、N两点距离最大,M、P两点距离最小,可得出M、P两点向右运动,N点向左运动
①当t1=4s时,P在4,M在14,N在﹣32,
再往前一点,MP之间的距离即包含10个整数点,NP之间有47个整数点;
②当N继续以6个单位每秒的速度向左移动,P点向右运动,
若N点移动到﹣33时,此时N、M之间仍为47个整数点,
若N点过了﹣33时,此时N、M之间为48个整数点
故t2=+4=(s),
∴t1,t2的值分别为4s,s.
【例2】.如图,周长为6个单位长度的圆上的六等分点分别为A,B,C,D,E,F,点A落在2的位置,将圆在数轴上沿负方向滚动,那么落在数轴上﹣2023的点是点D.
解:由图形可知,旋转一周,点B对应的数是1,点C对应的数是0,点D对应的数是﹣1,点E对应的数是﹣2,点F对应的点为﹣3,点A对应的点为﹣4,
继续旋转,点B对应的点为﹣5,点C对应的点为﹣6.
∵2023÷6=337…1,
∴数轴上表示﹣2025的点与圆周上点D重合.
故答案为:点D.
?变式训练
【变式2-1】.在数轴上,点A,O,B分别表示﹣15,0,9,点P,Q分别从点A,B同时开始沿数轴正方向运动,点P的速度是每秒4个单位,点Q的速度是每秒1个单位,运动时间为t秒.若点P,Q,O三点在运动过程中,其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的一个中点,则运动时间为或或秒.
解:由题知,P点对应的数为:﹣15+4
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