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2023年高考数学模拟试卷
请考生注意:
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,是两条不重合的直线,,是两个不重合的平面,则下列命题中错误的是()
A.若,,则或
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,则
2.一个正四棱锥形骨架的底边边长为,高为,有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切,则该球的表面积为()
A. B. C. D.
3.中,角的对边分别为,若,,,则的面积为()
A. B. C. D.
4.过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线,若与轴的交点坐标为,则该双曲线的标准方程可能为()
A. B. C. D.
5.设函数(,)是上的奇函数,若的图象关于直线对称,且在区间上是单调函数,则()
A. B. C. D.
6.已知正方体的棱长为2,点在线段上,且,平面经过点,则正方体被平面截得的截面面积为()
A. B. C. D.
7.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.其中甲必须去社区,乙不去社区,则不同的安排方法种数为()
A.8 B.7 C.6 D.5
8.已知函数,则()
A.2 B.3 C.4 D.5
9.《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图,则它的外接球的表面积为()
A.4π B.8π C. D.
10.已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是()
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
11.已知函数则函数的图象的对称轴方程为()
A. B.
C. D.
12.复数的共轭复数为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.直线(,)过圆:的圆心,则的最小值是______.
14.锐角中,角,,所对的边分别为,,,若,则的取值范围是______.
15.定义在上的奇函数满足,并且当时,则___
16.若的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x的系数为_____
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,在三棱柱中,是边长为2的菱形,且,是矩形,,且平面平面,点在线段上移动(不与重合),是的中点.
(1)当四面体的外接球的表面积为时,证明:.平面
(2)当四面体的体积最大时,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点,且,点的坐标为,求的面积.
19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为;直线l的参数方程为(t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;
(2)若点P的极坐标为,,求的值.
20.(12分)如图,点为圆:上一动点,过点分别作轴,轴的垂线,垂足分别为,,连接延长至点,使得,点的轨迹记为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)若点,分别位于轴与轴的正半轴上,直线与曲线相交于,两点,且,试问在曲线上是否存在点,使得四边形为平行四边形,若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.
21.(12分)已知数列的前n项和为,且n、、成等差数列,.
(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求的值.
22.(10分)某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况,从该校上一届高三(1)班到高三(5)班随机抽取50人,得到各班抽取的人数和其中本科上线人数,并将抽取数据制成下面的条形统计图.
(1)根据条形统计图,估计本届高三学生本科上线率.
(2)已知该省甲市2020届高考考生人数为4万,假设以(1)中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.
(i)若从甲市随机抽取10名高三学生,求恰有8名学生达到本科线的概率(结果精确到0.01);
(ii)已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万,假设该市每个考生本科上线率均为,若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市,求p的取值范围.
可能用到的参考数据:取,.
参考
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