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第二章

15.方程组的性态和矩阵条件数试验。设有线性方程组Ax=b，其中系数矩阵A=(a)分别为

ijnXn

a=xj−1(x=1+0.1i;i,j=1,2…,n)或a=1(i,j=1,2…,n),右端向量b=

ijiiiji+j−1

nnnT.

（a1j,a2j,…,anj）利用MATLAB中的库函计算：

j=1j=1j=1

（1）取n=5,10,20，分别系数矩阵的2-条件数，判别他们是否是病态矩阵？随着n的增大。矩

阵形态的变化如何？

（2）分别取n=5,10,20解两个线性方程组，并求的的解与精确解做比较，说明的什么？

（3）取n=10，对系数矩阵中的a22和ann增加扰动10-8，求解方程组，解得变化？

程序如下：

n=input(n=);

fori=1:n;

forj=1:n;

a(i,j)=1/(i+j-1);

end

end

c=norm(a);

d=norm(inv(a));

t=c*d;

b=sum(a);

x=inv(a)*b;

disp(t);

disp(x)

输入n=5时

得到t=4.7661e+005

X=

1.00001.00001.00001.00001.0000

输入n=10时

得到t=1.6025e+013

X=

1.00001.00011.00001.00000.99990.99980.99910.9999

1.00001.0001

输入n=20时

得到t=2.3003e+018

X=

Columns1through13

0.26099.66670.99761.10940.68751.37503.31252.0000

16.0000-18.000032.0000-10.00008.0000

Columns14through20

-56.00004.000024.000039.5000-144.000028.0000-14.0000

通过题意可知线性方程组的精确解为x=ones(n,1).

通过对条件数t值计算可知其随n值增加而增加，n值变大矩阵变为病态矩阵，病态矩阵的

结果偏差较大。

（2）a22与ann发生扰动后

n=input(n=);

fori=1:n;

forj=1:n;

a(i,j)=1/(i+j-1);

end

end

a(2,2)=a(2,2)+1*10^(-8);

a(n,n)=a(n,n)+1*10^(-8);

c=norm(a);

d=norm(inv(a));

t=c*d;

b=sum(a);

x=inv(a)*b;

disp(t);

disp(x)

结果t=5.2961e+011

X=

1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000

1.00001.0000

其条件数变小，求得的解更准确。

第三章

14.试分别用（1）Jacobi迭代法；（2）Gauss-Seidel迭代法；解线形方程组

101234x12

