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2023年高考数学模拟试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列为等差数列,且,则的值为()
A. B. C. D.
2.已知,满足约束条件,则的最大值为
A. B. C. D.
3.椭圆是日常生活中常见的图形,在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水,将杯体倾斜一个角度,水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米,底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯,且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计),在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出),杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是()
A. B. C. D.
4.已知,满足,且的最大值是最小值的4倍,则的值是()
A.4 B. C. D.
5.函数f(x)=ln
A. B. C. D.
6.设,满足约束条件,则的最大值是()
A. B. C. D.
7.设,,,则()
A. B. C. D.
8.若,,则的值为()
A. B. C. D.
9.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,点在抛物线上且满足,若取得最大值时,点恰好在以为焦点的椭圆上,则椭圆的离心率为()
A. B. C. D.
10.若集合,,则()
A. B. C. D.
11.已知函数,为的零点,为图象的对称轴,且在区间上单调,则的最大值是()
A. B. C. D.
12.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺莞生一日,长一尺蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长倍?”意思是:“今有蒲草第天长高尺,芜草第天长高尺以后,蒲草每天长高前一天的一半,芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍?”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是()
(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:,)
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设为定义在上的偶函数,当时,(为常数),若,则实数的值为______.
14.在的二项展开式中,x的系数为________.(用数值作答)
15.一次考试后,某班全班50个人数学成绩的平均分为正数,若把当成一个同学的分数,与原来的50个分数一起,算出这51个分数的平均值为,则_________.
16.平面向量与的夹角为,,,则__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知椭圆的左右焦点分别是,点在椭圆上,满足
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线过点,且与椭圆只有一个公共点,直线与的倾斜角互补,且与椭圆交于异于点的两点,与直线交于点(介于两点之间),是否存在直线,使得直线,,的斜率按某种排序能构成等比数列?若能,求出的方程,若不能,请说理由.
18.(12分)已知函数的定义域为.
(1)求实数的取值范围;
(2)设实数为的最小值,若实数,,满足,求的最小值.
19.(12分)已知,,分别是三个内角,,的对边,.
(1)求;
(2)若,,求,.
20.(12分)已知函数.
(1)解不等式;
(2)记函数的最大值为,若,证明:.
21.(12分)已知数列满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
22.(10分)某精密仪器生产车间每天生产个零件,质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格,若较多零件不合格,则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产数据和经验,这些零件的长度服从正态分布(单位:微米),且相互独立.若零件的长度满足,则认为该零件是合格的,否则该零件不合格.
(1)假设某一天小张抽查出不合格的零件数为,求及的数学期望;
(2)小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件,若以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元,而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.假设充分大,为了使损失尽量小,小张是否需要检查其余所有零件,试说明理由.
附:若随机变量服从正态分布,则.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
由等差数列的性质和已知可得,即可得到,代入由诱导公式计算可得.
【详解】
解:由等差数列的性质可得,解得,
,
故选:B.
【点睛】
本题考查等差数列的下标和公式的应用,涉及三角函数求值,属于基础题.
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