3.2.1单调性与最大（小）值10题型分类（解析版）.docx

3.2.1单调性与最大（小）值10题型分类

一、函数的单调性及其符号表达

(1)函数单调性的概念

函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性．

(2)函数单调性的符号表达

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I：

如果?x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.

如果?x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.

二、增函数、减函数

当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．

当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．

三、单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

1．单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求：

(1)属于同一个区间D；

(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替；

(3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1x2.

2．并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x是偶数，,0，x是奇数，))它的定义域为Z，但不具有单调性．

3．单调区间

(1)这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增，y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减；

(2)这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

4．函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝eq\f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性．

5．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝eq\f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝eq\f(1,x)(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

6．函数的单调性是相对于函数的定义域的子区间D而言的．对于单独的一点，它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题．因此在写单调区间时，区间端点可以包括，也可以不包括．但对于函数式无意义的点，单调区间一定不能包括这些点．

四、函数的最大值与最小值

最大值

最小值

条件

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：?x∈I，都有

f(x)≤M

f(x)≥M

?x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

称M是函数y＝f(x)的最大值

称M是函数y＝f(x)的最小值

几何意义

f(x)图象上最高点的纵坐标

f(x)图象上最低点的纵坐标

1．对函数最值的三点说明

(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.

(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．

(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．

2．函数最值与函数值域的关系

函数的值域是一个集合，最值若存在则属于这个集合，即最值首先是一个函数值，它是值域的一个元素．函数值域一定存在，而函数并不一定有最大(小)值．

3．利用单调性求最值的常用结论

(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(减)，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．

(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递增，在区间[b，c)上单调递减，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．

(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上单调递减，在区间[b，c)上单调递增，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．

（一）

证明或判断函数的单调性

定义法证明单调性的步骤

判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．

利用定义法判断函数的单调性的步骤如下：

注意：对单调递增的判断，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，也可以用一个不等式来替代：

(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0或eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)0.

对单调递减的判断，当x1x2时，都有