小学奥数数论专题--完全平方数(六年级)竞赛测试.pdf

小学奥数数论专题--完全平方数（六年级）竞赛测试

姓名:_____________年级:____________学号:______________

题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分

得分

评卷人得分一、xx题

（每空xx分，共xx分）

【题文】是的平方．

【答案】7777777的平方

【解析】，，

原式．

【题文】，这个算式的得数能否是某个数的

平方？

【答案】不可能

【解析】判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是

0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数．

这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是

0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方．

【题文】写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数．

【答案】361,400,441,484,529,576,625

【解析】一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.

如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和

它自身)

如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得

的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约

数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数．

由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数?

18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为

192,202,212,222,232,242,252．

即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625．

【题文】一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？

【答案】14，20

【解析】设该数为，那么它的平方就是，

因此．

由于，

⑴所以，，，可得，；

故该数的约数个数为个；

⑵或者，，可得，那么该数的约数个数为个．

所以这个数的约数个数为14个或者20个．

【题文】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？

【答案】31

【解析】完全平方数，其所有质因数必定成对出现．

而，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，

由于，所以、、……、都满足题意，即所求的

满足条件的数共有31个．

【题文】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________．

【答案】254

【解析】先将1016分解质因数：，由于是一个完全平方数，所以至少为，

故a最小为．

【题文】已知恰是自然数b的平方数，a的最小值是。

【答案】2

【解析】，要使是某个自然数的平方，必须使