专题05 共焦点椭圆、双曲线模型(学生版）【一线精研】2022年高考数学圆锥曲线-考点刨析训练（通用版）.docxVIP

专题05共焦点椭圆、双曲线模型

秒杀结论已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(其中m＞0，n＞0)共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，M是C1，C2的一个交点，θ＝∠F1ＭF2，则

Ⅰ．|MF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m；Ⅱ．eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1．

【方法技巧】

结论Ⅰ的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减．凡是已知公共焦点三角形中的一边（焦半径）或三边的比例关系（可取特值，特别是在直角三角形中），然后使用结论Ⅰ：|MF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，找到a，m，c的关系，从而解决问题．可免去用椭圆与双曲线的定义，节省时间．关于结论Ⅰ的记忆是长边加，短边减，椭圆的长半轴在前，双曲线的实半轴在后．

结论Ⅱ的推导是先用椭圆与双曲线的定义，然后用余弦定理，或用焦点三角形的面积相等．凡是已知公共焦点三角形中的顶角（或隐含如例2(6)，对点练5，6），然后使用结论Ⅱ：eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，可快速到e12，e22的关系，从而解决问题．如果求最值注意基本不等式的使用，如不能用基本不等式可利用三角换元转化为三角函数的最值(如例2(5)，对点练4，6)或用柯西不等式(选修4－5)．关于结论Ⅱ的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上椭圆与双曲线的离心率的平方．

【例题选讲】

[例11](59)椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2，∠AF1F2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为()

A．2eq\r(3)B．eq\r(3)C．2D．1

答案B秒杀设椭圆方程为：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)，双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m0，n0)，根据题意，可设|AF1|＝eq\r(3)，|AF2|＝1，|F1F2|＝2，则a＋m＝eq\r(3)，a－m＝１，∴eq\f(1,e1)＋eq\f(1,e2)＝eq\f(a,c)＋eq\f(m,c)＝eq\f(a＋m,c)＝eq\r(3)．故选B．

(60)中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1(－c，0)，F2(c，0)，P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|＝|F1F2|且|PF2|＝3，若椭圆C1的离心率e1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,5)))，则双曲线的离心率e2的范围是()

A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))D．(2，3)

答案C秒杀设椭圆方程为：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)，设双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m0，n0)，由题意有，a＋m＝2c，a－m＝3，所以m＝2c－a，又e2＝eq\f(c,m)＝eq\f(c,2c－a)＝eq\f(1,2－\f(1,e1))，因为e1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,5)))，所以eq\f(1,e1)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))，所以e2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)).

(61)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2＋1的取值范围为()

A．(1，＋∞)B．(eq\f(4,3)，＋∞)C．(eq\f(6,5)，＋∞)D．(eq\f(10,9)，＋∞)

答案B秒杀设椭圆方程为：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)，设双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m0，n0)，由题意有，a