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专题08基本不等式综合必刷100题
任务一:善良模式(基础)1-40题
一、单选题
1．已知均为正实数，且满足，则的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据题意，结合基本不等式求得，再利用对数的运算，即可求解.
【详解】
由均为正实数，且满足，
可得，当且仅当时，等号成立，
则，即的最大值为.
故选：C
2．已知，，且，则最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据条件将多项式写成的形式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由题知，，
当且仅当，即，时，等号成立，
故选：B
3．已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为（）
A．3 B．8 C．4 D．9
【答案】D
【分析】
根据两圆公切线的性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】
因为圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，
所以两圆相内切，其中C1(－2a，0)，r1＝2；C2(0，b)，r2＝1，故|C1C2|＝，由题设可知，
当且仅当a2＝2b2时等号成立．
故选：D.
4．已知，，且，则的最小值为（）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】A
【分析】
利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．
【详解】
，，又，且，
，
当且仅当，解得，时等号成立，
故的最小值为9．
故选：A．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．已知，函数在处的切线与直线平行，则的最小值是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
结合复合函数求导求出函数的导函数，进而求出切线的斜率，然后根据两直线平行斜率相等得到，进而结合均值不等式即可求出结果.
【详解】
因为，则，因为切点为，则切线的斜率为，又因为切线与直线平行，所以，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，则的最小值是，
故选：C.
6．已知直线与圆相切，则的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由直线与圆相切可得，然后利用均值不等式可得，从而可求的最大值.
【详解】
解：因为直线与圆相切，
所以，即，
因为，所以，
所以，
所以的最大值为，
故选：D.
7．若，且，则下列结论中正确的是（）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最小值是
【答案】A
【分析】
根据已知条件，结合基本不等式逐个分析判断即可
【详解】
对于A，因为，且，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以A正确，
对于B，，且，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以B错误，
对于C，因为，且，所以，所以，由选项B的解答可知，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是，所以C错误，
对于D，因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，所以D错误，
故选：A
8．已知a，b为正实数，且满足，则的最小值为（）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】
根据题意可得，由，展开利用基本不等式即可求解.
【详解】
由，可得，
，
当且仅当且，即时等号成立．
故选：C．
9．已知在中，动点C满足，其中，且，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段上，于是，且，然后利用均值不等式即可求解.
【详解】
解：由题意可得A，B，C三点共线，且C点在线段上，于是，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
故选：C.
10．若实数满足，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由，令，利用不等式的性质即可求得的范围．
【详解】
解：，
又，
，令，
则，
，即，当且仅当时，取等号，
的取值范围是，．
故选：A．
11．已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是（）
A．1 B．3
C．6 D．12
【答案】B
【分析】
由x2+2xy-3=0，可得y=，则2x+y=2x+，再利用基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：∵x2+2xy-3=0，∴y=，
∴2x+y=2x+2=3，
当且仅当，即x=1时取等号.
故选：B.
12．已知，，则的最小值是（
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