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高中数学导数

第一篇：导数的定义及性质

导数是微积分中的重要概念之一，它在数学、物理、工

程等领域都有广泛的应用。导数的定义和性质是学习导数的重

要基础，本文将对导数的定义和性质进行详细介绍。

一、导数的定义

导数是函数在某一点的变化率，它表示函数在该点附近

的变化趋势。导数的定义如下：

设函数y=f(x)，x0为区间I内的一点，若极限

f（x0+Δx）-f（x0）Δx→0

=k

Δx

存在，且与x0的取值有关，则称k为函数f（x）在点

x0处的导数，记为f（x0）或y（x0），即

f（x0）=lim──────（x→x0）

Δx→0Δx

其中，Δx表示自变量x的增量，即x-x0。

从几何上来看，导数就是函数图像在某一点切线的斜率。

二、导数的性质

导数存在的充分条件是函数在该点连续。导数也具有一

些基本的性质，如下：

1.常数函数的导数为0

对于常数函数y=c，其导数为

dy/dc=lim[(c+Δc)-c]/Δc=0

即常数函数的导数恒为0。

2.幂函数的导数

对于幂函数y=x^n，其导数为

dy/dx=lim[(x+Δx)^n-x^n]/Δx

=lim[x^n+(n*x^(n-1))*Δx+O(Δx^2)-x^n]/Δx

=(n*x^(n-1))

即幂函数y=x^n的导数为n*x^(n-1)。

3.求和、差、积的导数

对于函数y=u(x)+v(x)的导数，有

dy/dx=[u(x)+v(x)]=[u(x)]+[v(x)]

对于函数y=u(x)-v(x)的导数，有

dy/dx=[u(x)-v(x)]=[u(x)]-[v(x)]

对于函数y=u(x)*v(x)的导数，有

dy/dx=[u(x)*v(x)]=u(x)*[v(x)]+v(x)*[u(x)]

4.商的导数

对于函数y=u(x)/v(x)的导数，有

dy/dx=[u(x)/v(x)]=[u(x)*v(x)-

v(x)*u(x)]/[v(x)]^2

其中，v(x)≠0。

以上就是导数的定义和性质的介绍。通过对导数的学习，

我们可以更好地理解函数的变化趋势，为微积分的后续学习奠

定坚实的基础。

第二篇：导数的运算法则

导数是微积分中的基本概念之一，通过对导数的运算法

则的学习，我们可以更好地掌握导数的应用。本文将对导数的

运算法则进行详细介绍。

一、导数的加减法则

如果函数u(x)和v(x)都在区间I内可导，则它们的和、

差的导数分别为

[u(x)+v(x)]=u(x)+v(x)

[u(x)-v(x)]=u(x)-v(x)

其中，表示求导符号。

例如，对于函数y=sin(x)+cos(x)，有

y=[sin(x)+cos(x)]=[sin(x)]+[cos(x)]=cos(x)-

sin(x)

二、导数的乘法法则

如果函数u(x)和v(x)都在区间I内可导，则它们的积的

导数为

[u(x)*v(x)]=u(x)*v(x)+u(x)*v(x)

例如，对于函数y=x^2*sin(x)，有

y=[x^2*sin(x)]=2x*sin(x)+x^2*cos(x)

三、导数的除法法则

如果函数u(x)和v(x)都在区间I内可导且v(x)≠0，则

它们的商的导数为

[u(x)/v(x)]=[u(x)*v(x)-u(x)*v(x)]/[v(x)]^2

例如，对于函数y=cos(x)/x，有

y=[cos(x)/x]=[-sin(