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外接球与内切球的定心方法

【法一】长方体与球的中心对称性质（长方体的对称中心即为球心） 长方体（或可补

形为长方体的柱体、锥体）的体对角线就是其外接球直径。

【补形方法】分别以上、下底面直角三角形的两条直角边为临边构造上、下矩形底面。

【法二】球的集合定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。

图（1） 图（2） 图（3）

于图（1），OA=OB=OC=OP对=

1 1

PB;对于图（2），OA=OB=OC=OP= PC;对于图（3）,

2 2

AB?APA?面ABC?PA?AC,PA?BC,又AB?

AB?A

?BC?面PAB,从而BC?PB,在Rt PBC与Rt PAC中，OA=OB=OC=OP=1PC.

2

根据球的集合定义可知，O为三棱锥P-ABC的外接球球心。

【法三】射影长定理（射影线段等长?斜线段等长） 分别过几何体的两个相交平面

多边形的外接圆圆心作各自平面的垂线，二垂线的交点即为外接球的球心，特别地，当一个平面（多边形）的外心恰好在另一个（下指第二个）与其相交的平面（多边形）的垂线（垂线过第二个平面多边形的外心）上时，则该外心即为几何体的外接球球心。

【法四】过几何体的某个面的外接圆圆心作该平面的垂线与和该平面相交的某条棱的中垂线的交点即为几何体的外接球球心。

［注］法四是法三的升级版，应用法四须使二垂线共面（否则，二垂线异面，没有交点）。

【法五】构造以底面外接圆直径为一条直角边，底面的垂线为另一条直角边的直角三角形，则其斜边即为该几何体的外接球直径。

［注］法五是法二的升级版，应用了直径所对的圆周角是直角定理。

【证明】根据作法可得，L’M?ML,由PL?面LMN,得PL?L’M,PL?LL’,又PLML=L,?L’M?

面PML,?L’M?PM,于是，

1

PLL与PML均为直角三角形，连结OM、OL,则

OM=OL=OL’=OP=2PL’=R,因此，点O即为三棱锥P-LMN的外接球球心。

【例1】已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB=4，SA=SB=SC=4，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离为（ ）。

2 3333A. B.2 C.2 D.

2 3

3

3

3

8 2【例2】四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB=2，BC=CD=1，?BCD?60?,AB?面BCD,则球O的表面积为（ ）。

8 2

8?

3 ?

8 3

?3

?

16?

3

【例1解析】SA=SB=SC?顶点S在底面ABC内的射影是底面的外心。取Rt ABC斜边AB

的中点D.连结SD则SD?面ABC.所以SD?AB.所以 SAB的外心O在SD上，从而O即为球

334

3

3

心，R

=OS=OB.由R2=(2

球

?R)2+4解得R= 3 。

【例2解析】法一：过底面正 ABC的外心（重心）G作GH?面BCD,过棱AB的中点F作

FOBG 交 GH 于点

O，则

O 为球心，FO

垂直平分棱 AB.

?1 ?2

?2 ?2

?2 ?2 4

R2=OB2=OG2+BG2=?2

AB? ??3BE? ?1??3?1?sin60??=3，所以球 O的表面积

球 ?

16?

? ? ? ? ?

S=4?R2? .

3

法二：如图，作正

ABC 的外接圆直径 BE,则 AE 即为球直径。

164 16?

16

?AE2?4R2

球

=AB2?BE2?

,解得R2

3 球

=3。故球O的表面积为 3 。

2【练习题】1.将边长为 的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B-AC-D.则四面体

2

ABCD的内切球的半径为（ D ）。

2323A.1 B.2 ? C. ?1 D.2?

2

3

2

3

已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积

43

为 3 ，BC=4，BD=

,?CBD?90?，则球O的表面积为（ ）。

3A.11? B.20? C.23? D.35?

3

3已知A、B、C是球O的球面上三点，AB=2，AC= 2

3

, ?ABC?60?，且棱锥O-ABC的体

46

46

，则球O的表面积为（ D