6年级 奥数 容斥原理 .pdf

容斥原理

专题解读：

在数学中，我们经常会碰到重复包含的现象。为了不重复计数，应从它们的和中1

减去重复部分，这一原理，我们称之为容斥原理，也称包含排除原理。正确运用

这一原理，可以帮助我们解答血多抽象的数学问题。

例1.六一班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑自行车又

会游泳的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？

例2.分母是105的最简真分数有多少个？

例3.某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这个班三

项都会的至少有几人？

例4.全班同学对作文、数学、自然三科中至少一科感兴趣，其中30人喜欢作文，32人喜欢

数学，21人喜欢自然；既喜欢作文又喜欢数学的有15人，既喜欢数学又喜欢自然的有12

人，既喜欢作文又喜欢自然的有14人，三科都喜欢的有8人，求全班的总人数？

1/5

例5.某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是

优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。

短跑投掷跳远短跑、跳远短跑、投掷跳远、投掷三项

192120910632

巩固练习：

1.某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都

参加。这个班既没有参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？

2.分母是1001的最简真分数有多少个？

3.小明统计了全班56名同学喜欢看的电视节目，其中喜欢看动画片的有52人，喜欢看综艺

节目的有38人，喜欢看体育节目的有32人，全班三种节目都喜欢看的至少有几人？

2/5

4.五年级有54人参加三项课外活动，每人至少参加一项。有32人参加科技组，27人参加书

法组，20人参加体育组，其中参加科技又参加体育的有10人，而参加科技组又参加书法组

的有14人，既参加体育组又参加书法组的有4人。问三项都参加的有几人？

3

5.某班学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试。有4名学生在这三个项目上都没有达到

优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的人数如下表。求这个班的

学生数？

短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球短跑、篮球短跑、游泳、篮球

1718156652

课堂检测

1六一班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，

参加跳绳的有38人。问两项比赛都参加的有几人？

2.在1~10000的自然数中，不能被5或7整数的数共有多少个？

3/5

3.六一班有54人，其中喜欢打羽毛球的有42人，喜欢打乒乓球的有48人，喜欢打篮球的

有30人，三种球都喜欢的至少有多少人？

4

4.盛夏，有10个同学去冷饮店，向服务员交出的需要冷饮的统计表：有6个人要可可，有5

个人要咖啡，有5个人要果汁，有3人既要可可又要咖啡，有2人既要咖啡又要果汁，有3

人既要可可又要果汁，有1人三样都要，问几人没有要冷饮？

5.小明和小龙两家合住一套房子，门厅、厨房和厕所为公用，在登记住房面积时，两家登记

如下表：

姓名居室门厅厨房厕所总面积

小明家14128438

小龙家20128