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一元二次方程
1. 一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.
2. 一元二次方程的一般式：.
3. 一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
4. 一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，即.
（1）当时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当时，一元二次方程没有实数根.
5. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
如果一元二次方程的实数根分别为、，则，.
一元二次方程的根的判别式都成立，主要应用有以下几个：
（1）不需要解方程就可以判定方程根的情况；
（2）根据系参数的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题；
（4）已知方程的一个根，不需要解方程求另一个根与参数系数；
（5）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
（6）已知方程两个根，求以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.
例1：根的判别式的应用
（1）
（2）
【解答】（1）两个不相等的实数根；（2）两个实数根.
【解析】（1）在中，，
，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）方程是一元二次方程，常数项为0，
无论取任何实数，均为非负数，
，故方程有两个实数根.
例2：根的判别式的逆运用
关于的一元二次方程.
（1）k为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）k为何值时，方程有两个相等的实数根？
（3）k为何值时，方程没有实数根？
【解答】见解析
【解析】.
（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，解得；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
，即，解得；
（3）∵方程没有实数根，
，即，解得.
例3：通过根的判别式推理论证
求证：关于的方程没有实数根.
【解答】见解析
【解析】
∵不论m取任何实数，，∴，即，
巩固练习
一．选择题
1． 已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）
A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5
【解答】B
【解析】∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，
∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，
解得：x＝﹣1或3，
即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3.
2． 方程的实数根的个数是（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】A
【解析】原方程可变形为，
设，则x+2＝y2
即，
∴|y﹣3|+|y﹣5|＝1
①当0≤y＜3时，
3﹣y+（5﹣y）＝1，
解得y＝，
由于y的值不在当y＜3的范围内，不合题意．
②当3≤y＜5时
y﹣3+5﹣y＝1，此时方程无解；
③当y≥5时，
y﹣3+y﹣5＝1，
解得y＝，
由于y的值不在当y≥5的范围内，不合题意．
综上原方程无解．
3． 若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（）
A．10 B．84 C．100 D．121
【解答】C
【解析】M＝（7﹣x）（3﹣x）（2+x）（2﹣x）
＝[（7﹣x）（2+x）]?[（3﹣x）（2﹣x）]
＝（﹣x2+5x+14）（x2﹣5x+6）
＝﹣（x2﹣5x）2+8（x2﹣5x）+84
＝﹣[（x2﹣5x）﹣4]2+100，
∵﹣1＜0，
∴M的最大值为100．
4． 已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（）
A． B． C． D．
【解答】C
【解析】∵x2﹣xy+4y2＝4，
∴x2+4y2＝xy+4，
∴u＝x2+xy+4y2＝2xy+4，
∵5xy＝4xy+（x2+4y2﹣4）＝（x+2y）2﹣4≥﹣4，当且仅当x＝﹣2y，
即，或时等号成立．
∴xy的最小值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最小值为，即．
∵3xy＝4xy﹣（x2+4y2﹣4）＝4﹣（x﹣2y）2≤4，当且仅当x＝2y，
即或时等号成立．
∴xy的最大值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最大值为，即．
．
或由x2﹣xy+4y2＝4，得x2+4y2＝xy+4，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4．
设xy＝t，若x＝0，则μ＝4；x≠0时，，将代入x2﹣xy+4y2＝4，
得，即x4﹣（t+4）x2+4t2＝0，…①
由△＝（t+4）2﹣16t2≥0，解得．
将代入方程①，解得代入方程①，解得，．
∴xy的最大值为，最小值为．
因此，.
二．填空题
5． 若关于x的方程（1﹣m2）x2+
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