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决策树练习题计算题解析

决策树是一种常用的分类和回归分析方法，其目的是通过构建树状模型来对数据进行分类或预测。在决策树中，每个内部节点代表一个特征属性，每个分支代表该特征属性的不同取值，叶节点代表类别或预测结果。

下面我们来解答一道决策树的练习题，通过计算来理解决策树的构建过程。

假设我们有一个数据集，其中包含10个样本，每个样本有两个特征属性（特征A和特征B）和一个类别标签。数据集如下：

样本

特征A

特征B

类别标签

1

0

0

0

2

0

1

1

3

0

1

0

4

1

0

0

5

1

0

1

6

0

0

0

7

1

1

1

8

0

1

1

9

1

0

0

10

1

1

1

现在我们要根据这个数据集构建一个决策树模型，以便对未知样本进行分类。我们可以使用ID3算法来构建决策树。

首先，我们需要计算每个特征属性的信息增益，然后选择信息增益最大的属性作为根节点。根据信息熵的计算公式：

E

其中，S表示数据集，c表示类别的个数，pi表示类别i在数据集S

首先计算整个数据集的信息熵。在10个样本中，类别0出现的次数为5次，类别1出现的次数为5次。因此，类别0和类别1的概率都为0.5。将这些值代入公式中，我们可以计算整个数据集的信息熵：

E

接下来，我们计算特征A和特征B的信息增益。

对于特征A，根据样本的特征A，我们将数据集分成两部分：

样本

特征A

特征B

类别标签

1

0

0

0

2

0

1

1

3

0

1

0

6

0

0

0

8

0

1

1

样本

特征A

特征B

类别标签

4

1

0

0

5

1

0

1

7

1

1

1

9

1

0

0

10

1

1

1

在第一部分数据集中，类别0和类别1都出现了2次，因此类别0和类别1的概率都为0.5。在第二部分数据集中，类别0出现了2次，类别1出现了3次，因此类别0和类别1的概率分别为0.4和0.6。根据这些值，我们可以计算特征A的信息熵：

E

E

E

根据特征A的信息熵和分割后的两个子集的大小，我们可以计算特征A的信息增益：

G

计算得到：

G

对于特征B，根据样本的特征B，我们将数据集分成两部分：

样本

特征A

特征B

类别标签

1

0

0

0

4

1

0

0

5

1

0

1

6

0

0

0

9

1

0

0

样本

特征A

特征B

类别标签

2

0

1

1

3

0

1

0

7

1

1

1

8

0

1

1

10

1

1

1

在第一部分数据集中，类别0和类别1都出现了3次，因此类别0和类别1的概率都为0.5。在第二部分数据集中，类别0出现了1次，类别1出现了4次，因此类别0和类别1的概率分别为0.2和0.8。根据这些值，我们可以计算特征B的信息熵：

E

E

E

根据特征B的信息熵和分割后的两个子集的大小，我们可以计算特征B的信息增益：

G

通过比较特征A和特征B的信息增益，我们可以选择信息增益最大的特征作为根节点，即特征B。我们将数据集按照特征B的两个取值（0和1）进行划分，得到以下两个子集：

子集1（特征B=0）：

样本

特征A

特征B

类别标签

1

0

0

0

4

1

0

0

5

1

0

1

6

0

0

0

9

1

0

0

子集2（特征B=1）：

样本

特征A

特征B

类别标签

2

0

1

1

3

0

1

0

7

1

1

1

8

0

1

1

10

1

1

1

在子集1中，类别0和类别1都出现了2次，因此类别0和类别1的概率都为0.5。在子集2中，类别0出现了1次，类别1出现了4次，因此类别0和类别1的概率分别为0.2和0.8。根据这些值，我们可以计算特征A在特征B=0时的信息熵和特征A在特征B=1时的信息熵。发现在特征B=1的情况下，特征A的信息熵更小，即特征A更能区分类别。

因此，我们选择特征A作为特征B=1的子节点。特征A有两个取值（0和1），根据这两个取值将子集2进一步划分，得到以下子集：

子集2.1（特征B=1，特征A=0）：

样本

特征A

特征B

类别标签

2

0

1

1

3

0

1

0

子集2.2（特征B=1，特征A=1）：

样本

特征A

特征B

类别标签

7

1

1

1

8

0

1

1

10

1

1

1

在子集2.1中，类别0和类别1都出现了1次，因此类别0和类别1的概率都为0.5。在子集2.2中，类别0没有出现，类别1出现了3次，因此类别0的概率为0，类别1的概率为1。根据这些值，我们可以计算特征A在特征B=1时，特征A=0的信息熵和特征A在特征B=1时，特征A=1的信息熵。

E

E

在这个例子中，特征A=0的信息熵为1，特征A=1的信息熵为0，因此我们可以确定特征A=1为叶节点，并将其标记为类别1。特征A=0的信息熵为1，我们需要进一步进行划分。

由于在子集2.2中，类别1已经完全出现，不再需要进一步划分。因此，我们将特征A=0的子节点标记为类别0。

至此，我们已经构