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专题2-2费马点与加权费马点详细总结
TOC\o1-3\f\n\h\z\u知识点梳理
【常规费马点】
【加权费马点】
题型一普通费马点最值问题
题型二加权费马点·单系数型
题型三加权费马点·多系数型
知识点梳理
【常规费马点】
【问题提出】如图△ABC所有的内角都小于120度,在△ABC内部有一点P,连接PA、PB、PC,
当的值最小时,求此时∠APB与∠APC的度数.
【问题处理】如图1,将△ACP绕着点C顺时针旋转60度得到△A’CP’,则△ACP≌△A’CP’,CP=CP’,AP=A’P’,又∵∠PCP’=60°,∴△PCP’是等边三角形,∴PP’=PC,∴PA+PB+PC=P’A’+PB+PP’,
如图2,当且仅当点B、P、P’、A’共线时,PA+PB+PC最小,最小值为A’B,此时∠BPC=∠APC=∠APB=120°
【问题归纳】如费马点就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点.费马点结论:
对于一个各角不超过120°的三角形,费马点是对各边的张角都是120°的点,所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心;
对于有一个角超过120°的三角形,费马点就是这个内角的顶点.
【如何作费马点】如图3,连接AA’,我们发现△ACA’为等边三角形,点P在A’B上,同理,我们可以得到等边△BAB’,点P也在CB’上,因此,我们可以以△ABC三角形任意两边为边向外构造等边三角形,相应连线的交点即为费马点。(最大角小于120°时)
【例1】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=AC=1,P是△ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值.
【练习1】如图,已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为______.
【加权费马点】
如果所求最值中三条线段的系数有不为1的情况,我们把这类问题归为加权费马点问题,解决方法类似,也是通过旋转进行线段转化,只不过要根据系数的情况选择不同的旋转或放缩方法。
【类型一单系数类】
当只有一条线段带有不为1的系数时,相对较为简单,一般有两种处理手段,
一种是旋转特殊角度:对应旋转90°,对应旋转120°
另一种是旋转放缩,对应三角形三边之比
【例3】在等边三角形ABC中,边长为4,P为三角形ABC内部一点,求的最小值
【练习2】在Rt△ABC中,AC=3,BC=2,P为三角形ABC内部一点,求的最小值
【类型二多系数类】
其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时,都是符合加权费马点的条件的。
以不同的点为旋转中心,旋转不同的三角形得到的系数是不同的,对于给定的系数,我们该如何选取旋转中心呢?我们总结了以下方法:
1.?将最小系数提到括号外;
2.?中间大小的系数确定放缩比例;
3.?最大系数确定旋转中心(例如最大系数在PA前面,就以A为旋转中心),旋转系数不为1的两条线段所在的三角形。
【例3】如图,在△ABC中,,,,在△ABC内部有一点P,连接,则(1)的最小值为________;(2)的最小值为________
【练习3】如图,在△ABC中,,,,在△ABC内部有一点P,连接,则的最小值为________.
题型一普通费马点最值问题
(2021滨州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=2,点P是△ABC内一点,则的最小值为_________.
C
C
A
B
P
问题背景:如图1,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE.
问题解决:如图2,在△MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=,点O是△MNG内一点,则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______.
如图,在△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC=2,P是△ABC内一点,求PA+PB+PC的最小值.
已知,在△ABC中,∠ACB=30°,AC=4,AB=点P是△ABC内一动点,则PA+PB+PC的最小值为________
如图,已知矩形ABCD,AB=4,BC=6,点M为矩形内一点,点E为BC边上任意一点,则MA+MD+ME的最小值为______.
A、B、C、D四个城市恰好为一个边长为2a正方形的四个顶点,要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通,并使整个公路系统的总长度(AP+BP+PQ+DQ+CQ)最小,则应当如何修建?最小长度是多少?
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