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第九章微分方程

第一节微分方程的基本概念

引例一曲线通过点,且该曲线上任一点,处的切线的斜率为，求该曲线的方程

解：设所求曲线的方程为于是有,

那么所求曲线为2,代入条件得于是所求曲线的方程为2

引例列车以/的速度在平直线路上行驶当制动时列车获得−./2的加速度，问开始制动

后多少时间列车才能停住在这段时间内列车行驶了多少路程？

解：设列车在开始制动后可以停住，列车在这段时间内驶过的路程为由题意得

2′

2−.,,.

′2

于是−.,−.代入初始条件得,于是列车

11221

2′

的运动方程为−.列车停住意味着速度−.,那么将刹车所用的时

间代入运动方程，则走过的路程为−.×2×

从以上两个例子可以看到方程中含有未知函数的导数，于是我们称含有未知函数的导数或微分的方

程叫微分方程，习惯上记作

′′′

,,等

注：微分方程中可以不出现未知函数或未知函数的自变量，但一定要出现未知函数的微分或导数

微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶数，称为微分方程的阶数，微分方程中未知函数

及其导数或微分所在项的最高幂次叫作微分方程的次数例如方程′−是一个一阶线性方程

′′′′2

−−是二阶非线性方程，是非线性方程

2

′()

一般阶微分方程我们写成,,,···,或,,,2,...,

注意到上述微分方程中未知函数是一元函数，我们称这样的方程为常微分方程，若微分方程中的未

22

知函数是多元函数，则称这样的微分方程为偏微分方程，例如

22

满足微分方程的未知函数叫作微分方程的解例如2就是引例的解若函数在区

′()

间上满足,,,···,≡则称是阶微分方程的解若微分方程的解中含有独

立的任意常数的个数恰好与微分方程的阶数相同，则称该解为微分方程的通解例如−.2