北京理工大学2022数学分析I期终考试试题及解析.doc

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北京理工大学2022-2023学年第一学期

2022级理科数学分析（I）期终考试试题及解析

试题部分

1.(10分)求出下列极限

(1)(2)

2.(20分)

(1)设是由参数方程确定的函数，求.

(2)设，求.

(3)设，求和.

3.(16分)求下列积分

(1)(2)

(3)(4)

4.(10分)求微分方程的通解.

5.(12分)

(1)设和都在可积，证明：

.

(提示：)

(2)设在连续，且.证明：

.

6.(10分)

(1)设在连续，且.证明：在取到最小值.

(2)证明：在一致连续.

7.(10)设在连续，且存在，使得.证明：存在

，使得.

8.(12分)判断下列命题是否正确，若认为是“正确”的，请给出证明；若“不正确”，请给出反例.

(1)设.则.

(2)在无界.

(3)若对任意的，在连续，则在连续.

(4)设是上单调递增且可导的函数，则也是单调递增的

函数.

(5)若和都在点不可导，则也在不可导.

答案及解析

1.(10分)求出下列极限

(1)(2)

解：(1)

6分

析：将分母部分难以处理的(sinx)^n通过已知极限的函数x/sinx进行转化，从而去掉分母部分的(sinx)^2再运用通用的洛必达法则上下求导得极限。

(2)

4分

析：变上限的定积分的典型处理，提出一个1/n构造k/n进而转化为求定积分问题，运用牛顿-莱布尼茨公式求解。

2.(20分)

(1)设是由参数方程确定的函数，求.

(2)设，求.

(3)设，求和.

解：(1)第2个方程关于求导，是的函数，

，4分

则2分

2分

(2).5分

(3)

，4分

则，

，，

，，

，.3分

析：

考察简单的隐函数求导，根据分别就y-t式与x-t式对t求导。

考察变上限的定积分定理，直接套用连续函数总有原函数定理的公式。

考察对1/1-x的局部泰勒展开及泰勒展开的唯一性。

3.(16分)求下列积分

(1)(2)

(3)(4)

解：(1)

.4分

(2)

.

4分

(3)令，，则，.

当时，；当时，.

.4分

(4)

.4分

析：

考察求解定积分中的分类讨论，需要注意取整函数[x]的特殊性。

考察定积分分部积分法，需要注意所积分复合函数中各个函数的优先级。

考察定积分换元积分法，三角换元法的典型处理之一，需要注意从x到t的定义域的转变。

考察基础的定积分的有理化方法，与不定积分的有理化方法类似，将一个积分拆解为多个易于求解的积分进行计算。

4.(10分)求微分方程的通解.

解：特征方程为，1分

特征方程的根为，重数为.1分

则.2分

设是给定方程的一个特解，

1分

，1分

，

1分

带入方程得

，

于是，

那么得到特解.1分

给定方程的通解为

.2分

析：考察常系数线性非齐次微分方程，需要注意非齐次方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，然后根据特征方程根的情况分类讨论非齐次方程特解的情形。

5.(12分)

(1)设和都在可积，证明：

.

(提示：)

(2)设在连续，且.证明：

.

证：(1)，，1分

，2分

若，由于对任意的成立，则

，结论成立.1分

若，则

，1分

即得结论.

(2)，

，2分

，

利用(1)，

2分

，1分

2分

.

析：

根据提示寻找t的特殊情况，涉及基本不等式运用。

变上限的定积分的灵活运用，同时考察分部积分的基础是否扎实，能否根据证明是抽象放缩联想到已知的条件。

6.(10分)

(1)设在连续，且.证明：在取到最小值.

(2)证明：在一致连续.

证：(1)设.

1分

则对，存在，当时，.1分

在连续，它存在最小值，其中，即