基于高斯点上的吉洪诺夫正则化逼近公式的正则化参数选取及数值稳定性研究.pdf

摘要

摘要

为处理噪声数据，最近吉洪诺夫正则化的近似多项式及其误差估计已被

推导出来。基于已经得出的L2误差界和一致误差界，本文首先对这两种误差

界中的某些项进行量化，给出量化后的L2误差界和一致误差界。本文通过

分析这两种误差估计，可知吉洪诺夫正则化的近似多项式中所含的正则化参

数能降低噪声，因此本文还对此公式中的正则化参数进行了选取。本文采用

了两种方法选取正则化参数，分别是平衡原则和Brezinski–Rodriguez–Seatzu

估计法。数值实验表明两种方法选取的正则化参数是有效的，即在一定程度

上能降低噪声。最后，本文还分析了吉洪诺夫正则化的改进的Lagrange插值

公式和吉洪诺夫正则化的重心插值公式的数值稳定性，得出这两个吉洪诺夫

正则化的插值公式都是向前稳定的，其中吉洪诺夫正则化的改进的Lagrange

插值公式还是向后稳定的。数值实验也验证了这两个插值公式的数值稳定性

结论。

关键词：吉洪诺夫正则化，正则化参数选取，数值稳定性，平衡原则，

Brezinski–Rodriguez–Seatzu估计法

I

基于高斯点上的吉洪诺夫正则化逼近公式的正则化参数选取及数值稳定性研究

Abstract

Todealwithnoisydata,recentlyTikhonovregularizedapproximation

polynomialanditserrorestimateshavebeenderived.Basedonthealready

derivedL2errorboundandtheuniformerrorbound,thisthesisfirstquan-

tifiescertaintermsinthesetwoerrorboundstogivethequantifiedL2error

boundandtheuniformerrorbound.Bythesetwoerrorestimatesitisalso

explainedthattheregularizationparametercontainedintheTikhonovregular-

izedapproximationpolynomialcanreducenoise.Therefore,theregularization

parameterinthisformulaarealsoselectedinthisthesis.Twomethodsare

usedtoselecttheregularizationparameter,whicharethebalancingprinciple

andtheBrezinski–Rodriguez–Seatzuestimators.Numericalexperimentsshow

thattheregularizationparameterselectedbythetwomethodsiseffective,

thatis,itcanreducenoisetosomeextent.Finally,thenumericalstabil-

ityoftheTikhonovregularizedmodifiedLagrangeinterpolationformulaand

theTikhonovregularizedbarycentricinterpolationformulaareinvestigated.