2023年全国中学生数学奥林匹克暨2023年全国,高中数学联合竞赛加试试题(A精品.pdf

2023年全国中学生数学奥林匹克(预赛)

暨2023年全国高中数学联合竞赛

加试试题(A卷)

ω

一、(本题满分40分)如图，Ω是以AB为直径的固定的半圆弧，是经过点A及Ω上另

̂

ω(不含端点)上的动点，C、D

一定点T的定圆，且的圆心位于△ABT内，设P是Ω的弧ᵄᵃ

ω

是上的两动点，满足：C在线段AP上，C、D在直线AB的异侧，且CD⊥AB.记△CDP

的外心为K.证明：

(1)点K在△TDP的外接圆上；

(2)K为定点.

(答题时请将图画在答卷纸上)

TP

C

A

B

D

二、(本题满分40分)正整数n称为“好数”，如果对任意不同于n的正整数m，均有

2ᵅ2ᵅ{}

{}≠{}，这里ᵆ表示x的小数部分.

ᵅ2ᵅ2

证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数.

三、(本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数k：若将1,2，…，k中的每个数任意

染成红色或蓝色，则或者存在9个互不相同的红色的数ᵆ,ᵆ,⋯,ᵆ满足ᵆ+ᵆ+⋯+ᵆ

129128

ᵆ，或者存在10个互不相同的蓝色的数ᵆ,ᵆ,⋯,ᵆ满足ᵆ+ᵆ+⋯+ᵆᵆ.

9121012910

四、(本题满分50分)设ᵄ=1+10−4.在2023×2023的方格表的每一个小方格中填入区

，

间[1ᵄ]中的一个实数.设第i行的总和为ᵆ，第i列的总和为ᵆ，1≤ᵅ≤2023.ᵅᵅ

ᵆᵆ⋯ᵆ

求122023的最大值(答案用含a的式子表示).

ᵆᵆ⋯ᵆ

122023

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2023年全国高中数学联合竞赛

加试（A卷）参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可

参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．

AB

一．（本题满分40分）如图，是以为直径的固定的半圆弧，是经过





AABTP

点及上另一个定点的定圆，且的圆心位于内．设是的弧

TTB