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2023年全国中学生数学奥林匹克(预赛)
暨2023年全国高中数学联合竞赛
加试试题(A卷)
ω
一、(本题满分40分)如图,Ω是以AB为直径的固定的半圆弧,是经过点A及Ω上另
̂
ω(不含端点)上的动点,C、D
一定点T的定圆,且的圆心位于△ABT内,设P是Ω的弧ᵄᵃ
ω
是上的两动点,满足:C在线段AP上,C、D在直线AB的异侧,且CD⊥AB.记△CDP
的外心为K.证明:
(1)点K在△TDP的外接圆上;
(2)K为定点.
(答题时请将图画在答卷纸上)
TP
C
A
B
D
二、(本题满分40分)正整数n称为“好数”,如果对任意不同于n的正整数m,均有
2ᵅ2ᵅ{}
{}≠{},这里ᵆ表示x的小数部分.
ᵅ2ᵅ2
证明:存在无穷多个两两互素的合数均为好数.
三、(本题满分50分)求具有下述性质的最小正整数k:若将1,2,…,k中的每个数任意
染成红色或蓝色,则或者存在9个互不相同的红色的数ᵆ,ᵆ,⋯,ᵆ满足ᵆ+ᵆ+⋯+ᵆ
129128
ᵆ,或者存在10个互不相同的蓝色的数ᵆ,ᵆ,⋯,ᵆ满足ᵆ+ᵆ+⋯+ᵆᵆ.
9121012910
四、(本题满分50分)设ᵄ=1+10−4.在2023×2023的方格表的每一个小方格中填入区
,
间[1ᵄ]中的一个实数.设第i行的总和为ᵆ,第i列的总和为ᵆ,1≤ᵅ≤2023.ᵅᵅ
ᵆᵆ⋯ᵆ
求122023的最大值(答案用含a的式子表示).
ᵆᵆ⋯ᵆ
122023
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)
暨2023年全国高中数学联合竞赛
加试(A卷)参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可
参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不得增加其他中间档次.
AB
一.(本题满分40分)如图,是以为直径的固定的半圆弧,是经过
AABTP
点及上另一个定点的定圆,且的圆心位于内.设是的弧
TTB
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