2023全国数学竞赛试题 .pdf

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2023全国数学竞赛试题

第一题

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设ᵄ,ᵄ为实数,且满足|ᵄ|+|ᵄ|=1,求ᵄ+ᵄ的最大值。

第二题

已知平面直角坐标系中,直线ᵅ:ᵄᵆ+ᵄᵆ+ᵅ=0与圆$\\omega:(x-p)^2+(y-

q)^2=r^2$相交于ᵃ,ᵃ两点,$\\angleAOB=120^\\circ$,其中ᵄ为圆心,求ᵃᵃ

的最大值。

第三题

设$\\triangleABC$为等腰三角形,其中ᵃᵃ=ᵃᵃ,点ᵃ在ᵃᵃ边上,且满足

$\\angleBAD=\\angleACB$,点ᵃ在ᵃᵃ上,且满足$DE\\parallelAC$,

$DF\\perpAB$,ᵃ为ᵃᵃ上的点,若$\\frac{AE}{EB}=\\frac{5}{2}$,求

$\\frac{BD}{DC}$的值。

第四题

设函数ᵅ(ᵆ)在$(-\\infty,+\\infty)$上有定义,且满足对于任意整数ᵅ,ᵅ,都

22

有ᵅ(ᵅ+ᵅ)=ᵅ(ᵅ)+ᵅ(ᵅ),若ᵅ(2019)=2023,求ᵅ(2023)的值。

第五题

ᵅᵅᵅ+ᵅᵅᵅ

已知正整数ᵅ,ᵅ满足2−1和2−1互质,求证:2−1与2−1,2−

1的乘积互质。

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