2023年中国大学生数学竞赛 .pdf

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中华人民共和国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容

一、函数、极限、连续

1．函数概念及表达法、简朴应用问题函数关系建立。

2．函数性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数性质

及其图形、初

等函数。

4．数列极限与函数极限定义及其性质、函数左极限与右极限。

5．无穷小和无穷大约念及其关系、无穷小性质及无穷小比较。

6．极限四则运算、极限存在单调有界准则和夹逼准则、两个重

要极限。

7．函数连续性（含左连续与右连续）、函数间断点类型。

8．连续函数性质和初等函数连续性。

9．闭区间上连续函数性质(有界性、最大值和最小值定理、介值

定理)。

二、一元函数微分学

1.导数和微分概念、导数几何意义和物理意义、函数可导性与连

续性之

间关系、平面曲线切线和法线。

2.基本初等函数导数、导数和微分四则运算、一阶微分形式不变

性。

3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所拟定函数微分法。

4.高阶导数概念、分段函数二阶导数、某些简朴函数n阶导数。

5.微分中值定理，涉及罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值

定理和泰勒定理。

6.洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限。

7.函数极值、函数单调性、函数图形凹凸性、拐点及渐近线(水

平、铅直和斜渐近线)、函数图形描绘。

8.函数最大值和最小值及其简朴应用。

9.弧微分、曲率、曲率半径。

三、一元函数积分学

1.原函数和不定积分概念。

2.不定积分基本性质、基本积分公式。

3.定积分概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分拟定

函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式。

4.不定积分和定积分换元积分法与分部积分法。

5.有理函数、三角函数有理式和简朴无理函数积分。

6.广义积分。

7.定积分应用：平面图形面积、平面曲线弧长、旋转体体积及侧

面积、平行截面面积为已知立体体积、功、引力、压力及函数

平均值。

四、常微分方程

1.常微分方程基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件

和特解等.

2.变量可分离微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯

努利方程、全微分方程。

3.可用简朴变量代换求解某些微分方程、可降阶高阶微分方程。

4.线性微分方程解性质及解构造定理。

5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶某些常系数齐次线性

微分方程。

6.简朴二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数

函数、正弦函数、余弦函数，以及它们和与积。

7.欧拉(Euler)方程。

8.微分方程简朴应用。

五、向量代数和空间解析几何

1.向量概念、向量线性运算、向量数量积和向量积、向量混合积。

2.两向量垂直、平行条件、两向量夹角。

3.向量坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦。

4.曲面方程和空间曲线方程概念、平面方程、直线方程。

5.平面与平面、平面与直线、直线与直线夹角以及平行、垂直条

件、点到平面和点到直线距离。

6.球面、母线平行于坐标轴柱面、旋转轴为坐标轴旋转曲面方程、

惯用二次曲面方程及其图形。

7.空间曲线参数方程和普通方程、空间曲线在坐标面上投影曲线

方程。

六、多元函数微分学

1.多元函数概念、二元函数几何意义。

2.二元函数极限和连续概念、有界闭区域上多元连续函数性质。

3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在必要条件和充足条件。

4.多元复合函数、隐函数求导法。

5.二阶偏导数、方向导数和梯度。

6.空间曲线切线和法平面、曲面切平面和法线。

6.二元函数二阶泰勒公式。

7.多元函数极值和条件极值、拉