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希望杯数学竞赛2022年题目

一、数论部分

1.已知三个正整数a，b，c，满足abc，若a^2+b^2和c都是素数，

试证明c+3是124的倍数。

2.已知正整数m和n满足5≤m，n∣mn，若2^m-1是素数，n^2+1是合

数，证明15∣m，n。

3.求所有既是素数又是二次完全数的数。

二、几何部分

1.在正项象限中，以原点为端点的角ABC，若∠CAB=α、AB=2、

BC=4，求cosα+sinα的值。

2.设ABCD为平行四边形，连接AC,BD，若∠ACD=90°，∠ABC=x，

求sinx的值。

3.在平行四边形ABCD中，若AB∥CD,AB=a，AD=b，证明l(cv

ABCD)=ab。

三、概率论部分

1.设A，B两个事件，若P(A∪B)=P(A)P(B)，求P(A∩B)的值。

2.在一块面积为1的正方形区域内，有一个半径为a的圆，一个半径为

b的圆，证明它们的交点的概率是a^2b^2/4。

3.已知X和Y是随机变量，函数f(x,y)=x^2+xy，求E(f(X,Y))的值。