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不等式与不等式组
单元培优核心考点
1.不等式的定义
(1)不等式的概念:用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式.
(2)凡是用不等号连接的式子都叫做不等式.常用的不等号有“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”.另外,不等式中可含未知数,也可不含未知数.
2.不等式的性质
(1)不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变,即:
若a>b,那么a±m>b±m;
②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即:
若a>b,且m>0,那么am>bm或>;
③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:
若a>b,且m<0,那么am<bm或<;
(2)不等式的变形:①两边都加、减同一个数,具体体现为“移项”,此时不等号方向不变,但移项要变号;②两边都乘、除同一个数,要注意只有乘、除负数时,不等号方向才改变.
【规律方法】
1.应用不等式的性质应注意的问题:在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时,一定要改变不等号的方向;当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时,一定要对字母是否大于0进行分类讨论.
2.不等式的传递性:若a>b,b>c,则a>c.
3.不等式的解集
(1)不等式的解的定义:
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
(2)不等式的解集:
能使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集.
(3)解不等式的定义:
求不等式的解集的过程叫做解不等式.
(4)不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值,有无数个,用符号表示;不等式的解集是一个范围,用不等号表示.不等式的每一个解都在它的解集的范围内.
4.在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:
一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意,点是实心还是空心,若边界点含于解集为实心点,不含于解集即为空心点;
二是定方向,定方向的原则是:“小于向左,大于向右”.
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x>a,其验证方法可以先将a代入原不等式,则两边相等,其次在x>a的范围内取一个数代入原不等式,则原不等式成立.
5.解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同,都有如下步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.
以上步骤中,只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3,即可能变不等号方向,其他都不会改变不等号方向.
注意:符号“≥”和“≤”分别比“>”和“<”各多了一层相等的含义,它们是不等号与等号合写形式.
6.一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件,再根据得到的条件进而求得不等式的整数解.可以借助数轴进行数形结合,得到需要的值,进而非常容易的解决问题.
7.由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时,要抓住题目中的关键词,如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等,正确选择不等号.
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵,不同的词里蕴含这不同的不等关系.
8.一元一次不等式的应用
(1)由实际问题中的不等关系列出不等式,建立解决问题的数学模型,通过解不等式可以得到实际问题的答案.
(2)列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系.因此,建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.
(3)列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤:
①弄清题中数量关系,用字母表示未知数.
②根据题中的不等关系列出不等式.
③解不等式,求出解集.
④写出符合题意的解.
9.解一元一次不等式组
(1)一元一次不等式组的解集:几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集.
(2)解不等式组:求不等式组的解集的过程叫解不等式组.
(3)一元一次不等式组的解法:解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
方法与步骤:①求不等式组中每个不等式的解集;②利用数轴求公共部分.
解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
10.一元一次不等式组的整数解
(1)利用数轴确定不等式组的解(整数解).
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件,再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.
(2)已知解集(整数解)求字母的取值
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