初二数学勾股定理讲义.docx

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初二数学 勾股定理

【知识点归纳】

1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理 2、求直角三角形周长、面积等问题

3、验证勾股定理成立

1、勾股数的应用

勾股定理勾股定理的逆定理 2、判断三角形的形状

3、求最大、最小角的问题

勾股定理的应用

1、面积问题

2、求长度问题

3、最短距离问题

4、航海问题

5、网格问题

6、图形问题

考点一：勾股定理

对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为c，那么一定有

a2 b2 c2

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

结论：

①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。

③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

勾股定理的验证

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bca

b

c

a

a

cabbac

c

a

b

b

a

a

b a a b

例题：

例题：

例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。

在Rt△ABC中，∠C=90°

①若a=5，b=12，则c= ；

②若a=15，c=25，则b= ；

③若c=61，b=60，则a= ；

④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是= 。

如果直角三角形的两直角边长分别为n2 1，2n（n1），那么它的斜边长是（ ）

A、2n B、n+1 C、n2－1

D、n2 1

在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ）

a2 b2 c2 B.a2 c2 b2

C.c2 b2 a2

D.以上都有可能

已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A、25 B、14 C、7 D、7或25

例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。

直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为 。

已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）

A、24cm2 B、36cm

2 C、48cm

2 D、60cm2

已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）

A、5 B、25 C、7 D、15

例3：探索勾股定理的证明

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有四个斜边为c、两直角边长为a,b的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。

FG

F

G

A

D

B M H C

考点二：勾股定理的逆定理

考点二：勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形。

（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，

(9n,40n,41n)…..（n为正整数）

（3）直角三角形的判定方法：

①如果三角形的三边长a,b,c有关系，a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形。

②有一个角是直角的三角形是直角三角形。

③两内角互余的三角形是直角三角形。

④如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

例题：

例题：

例1：勾股数的应用

下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）A.4，5，6 B.2，3，4

C.11，12，13 D.8，15，17

若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ）

A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7例2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状

下面的三角形中：

①△ABC中，∠C=∠A－∠B；

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②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；

③△ABC中，a：b：c=3：4：5；

④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（ ）．

个 B．2个 C．3个 D．4个

2若三角形的三边之比为 :1:1，则这个三角形一定是（ ）

2

2 2

等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.不等边三角形

已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（ ）A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是( )

钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

若△ABC的三边长a,b,c满足a2 b2 c2 2