专题02 特殊四边形的旋转、折叠、最值问题(解析版).docxVIP

专题02特殊四边形的旋转、折叠、最值问题

菱形的旋转问题

1．（2020秋·福建南平·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形对角线的中点，轴且，，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（????）

??

A． B． C． D．或

【答案】D

【分析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解.

【详解】解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，

A、B、C均在坐标轴上，如图，

∵∠BAD=60°，AD=4，

∴∠OAD=30°，

∴OD=2，

∴AO==OC，

∴点C的坐标为（0，），

??

同理：当点C旋转到y轴正半轴时，

点C的坐标为（0，），

∴点C的坐标为（0，）或（0，），

故选D.

【点睛】本题考查了菱形的对称性，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是要分情况讨论.

2．（2022秋·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线交点D，将菱形绕点D顺时针方向旋转，每次旋转60°，则旋转2次后，点D的坐标是，旋转2022次后，点D的坐标是．

【答案】

【分析】求出点D的坐标，菱形每次逆时针旋转60°，相当于对点D每次逆时针旋转60°，根据周期性，可求出点D的坐标．

【详解】解：如下图所示，作轴交于点E，

∵四边形是菱形，

∴，点D是的中点，

∵点A的坐标为，

∴，

∵，

∴，

∵轴，

∴，，

∴，

∴点B的坐标为，，

∵点D是的中点，

∴点D的坐标为，，

菱形每次逆时针旋转60°，相当于对点D每次逆时针旋转60°，

根据图形变化可得，

旋转1次坐标为，

旋转2次坐标为，

旋转3次坐标为，

旋转4次坐标为，

旋转5次坐标为，

旋转6次坐标为，

……，

∴旋转2次后，点D的坐标是，

坐标的变化具有周期性，

，

∴旋转2022次后．点D的坐标是

故答案为：；．

【点睛】本题考查了菱形的性质、点的坐标变化等知识点，求出点D的坐标，再根据其周期性变化求出坐标是解本题的关键，综合性较强，难度较大．

3．（2022秋·全国·九年级期中）如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F．

(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

(2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

(3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)45°，见解析

【分析】（1）根据平行四边形的性质得,根据已知条件可得，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边证明即可；

（2）通过证明△AOF≌△COE（ASA）．即可得证；

（3）根据题意与勾股定理求得,根据平行四边形的性质可得,得到，结合菱形的性质和判定求解．

【详解】（1）证明：如图，

∵平行四边形ABCD中，ADBC，

∴AFBE，

∵AB⊥AC，

∴∠BAC＝90°，

又∵旋转角为90°时，∠AOF＝90°，

∴∠BAC＝∠AOF，

∴ABEF，

∴四边形ABEF是平行四边形．

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，ADBC，

∴∠OAF＝∠OCE，

∵∠AOF＝∠COE，

∴△AOF≌△COE（ASA）．

∴AF＝CE．

∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．

（3）当AC绕点O顺时针旋转45度时，四边形BEDF是菱形．

理由如下：

由（2）知：AF＝CE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ADBC，AD＝BC，

∴DF＝BE，DFBE，

∴四边形BEDF是平行四边形．

如图：

∵AB⊥AC，AB＝1，BC＝，

∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝AC＝1，

∴AO＝AB，

∵AB⊥AC，

∴∠AOB＝45°

∵AC绕点O顺时针旋转45度，

∴∠AOF＝45°，

∴∠BOF＝90°，

∴EF⊥BD．

∴四边形BEDF是菱形．

【点睛】本题考查旋转的性质及菱形性质和判定，掌握平行四边形，全等三角形的性质与判定，菱形的性质和判定是求解本题的关键．

菱形的折叠问题

4．（2022秋·广东深圳·九年级校考期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（）

A． B． C．3 D．3.5

【答案】A

【分析】作EH⊥BD于H，根据折叠的性质得到EG＝EA，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△ABD为等边三角形，得到AB＝BD，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

【详解】解：作EH⊥BD于H，

由折叠的性质可知，EG＝EA，

∵四边形A