专题02 利用勾股定理求最值-备战2023-2024学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（北师大版）（解析版）.docxVIP

专题02利用勾股定理求最值

折叠问题求最值

1.（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠，使点恰好落在边上，则折痕的长是（）

A．5 B． C． D．

【答案】C

【分析】由勾股定理得，根据折叠的性质，得到，，，设，利用勾股定理列方程，解得，再利用勾股定理，即可求出折痕的长．

【详解】解：如图，将沿折叠，点恰好落在边上处，

，，，

，

由折叠的性质可知，，，，

，，

设，则，

在中，，

，

解得：，即，

在中，，

故选：C．

【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解方程，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题关键．

2．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图，折叠长方形的一边使点D落在边的点F处，已知，，则EC的长为．

??

【答案】3

【详解】解：设EC的长为，则，

折叠后的图形是，

，，，

，

，

又，

在中，根据勾股定理，得，

，

，

，

在中，根据勾股定理，得：，

，

即，

化简，得，

．

即EC的长为，

【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解方程，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题关键．

3．（2023春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，，则的长为

????

【答案】

【分析】首先根据矩形的性质得出，，，然后根据平行线的性质及等量代换得出，则，然后根据折叠的性质得出，进而求出BC，然后利用勾股定理求出进而求出，从而答案可求．

【详解】∵四边形是矩形，

∴，，，

∴，由折叠得，，

∴，

∴，

由折叠得，，，

∴，

在中，

，

在中，

，

答案为：．

【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质和勾股定理，掌握折叠和矩形的性质及勾股定理是关键．

4．（2022秋·河北邢台·八年级月考）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为．

??

【答案】

【分析】勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解．

【解析】解：∵，，，

∴，

∵翻折，

∴，

∴；

故答案为：．

【点睛】本题考查勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．

5．（2023春·北京怀柔·八年级统考期末）如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（?????）

??

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：∵在中，，，，

∴，

∵将沿向上翻折得到，使点在射线上，

∴，

设，则，，

在中，，

即，

解得：

即的长为，

【点睛】本题考查勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．

6．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，，，将边沿翻折，点B落在点F处，连接交于点D，则的最大值为（）

??

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据将边沿翻折，点B落在点F处，可得，即知当最小时，最大，此时，用面积法求出，即可得到答案．

【详解】解：如图：

??

∵将边沿翻折，点B落在点F处，

∴，

∴，

当最小时，最大，此时，

∵，，，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．

7．（2022秋·河北张家口·八年级统考期中）在中，，点分别在边上（不与端点重合）．将沿折叠，点A落在的位置．

??

(1)如图①，当与点重合且．

①直接写出的长；

②求的面积．

(2)当．

①与点在直线的异侧时．如图②，直接写出的大小；

②与点在直线的同侧时，且的一边与平行，直接写出的度数．

【答案】(1)①4；②

(2)①；②的度数分别为，

【分析】（1）①直接根据勾股定理即可求出的长；②设，则，根据勾股定理求出x的值，再根据三角形面积公式即可求解；

（2）①根据三角形的外角定理可得，，即可求解；②根据题意进行分类讨论：当时，当时，即可进行解答．

【详解】（1）解：①在中，由勾股定理得，，

②设，则，

∵将沿折叠，点A落在的位置，

∴，

在中，由勾股定理得，，

解得：

∴．

（2）解：①∵将沿折叠，点A落在的位置，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

??

②当时，如图：

∵，，

∴，

∵由折叠所得，

∴；

??

当时，如图：

∵，，

∴，

∵由折叠所得，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴．

??

综上：的度数分别为，．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形那个的内角和定理，折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握勾股定理内容，根据勾股定理建立方程求边的长度；掌握三角形是内角和为，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，平行线的性质．

台阶相关题型求最值

1．（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图是楼