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圆周运动

质点在以某点为圆心半径为r的圆周上运动，即质点运动时其轨迹是圆周的运动叫“圆周运动”。它是一种最常见的曲线运动。例如电动机转子、车轮、皮带轮等都作圆周运动。圆周运动分为，匀速圆周运动和变速圆周运动（如：竖直平面内绳/杆转动小球、竖直平面内的圆锥摆运动）。在圆周运动中，最常见和最简单的是匀速圆周运动（因为速度是矢量，所以匀速圆周运动实际上是指匀速率圆周运动）。

匀速相关公式

1、v(线速度)=L/t=2πr/T=ωr=2πrf=2πnr(L代表弧长，t代表时间，r代表半径，n为频率，ω为角速度)

2、ω(角速度)=θ/t=2π/T=2πf（θ表示角度或者弧度）

3、T（周期）=2πr/v=2π/ω

4、f（频率）=1/T

6、Fn（向心力）=mrω^2=mv^2/r=mr4π^2/T^2=mr4π^2f^2

7、an（向心加速度）=rω^2=v^2/r=r4π^2/T^2=r4π^2n^2

一、水平面内的圆周运动的两种模型

????模型Ⅰ??圆台转动类

????小物块放在旋转圆台上，与圆台保持相对静止，如图1所示．物块与圆台间的动摩擦因数为μ，离轴距离为R，圆台对小物块的静摩擦力(设最大静摩擦力等于摩擦力)提供小物块做圆周运动所需的向心力．水平面内，绳拉小球在圆形轨道上运动等问题均可归纳为“圆台转动类”．

图1

摩擦力提供向心力

临界条件??圆台转动的最大角速度ωmax=，当ωωmax时，小物块与圆台保持相对静止；当ωωmax时，小物块脱离圆台轨道．

????模型Ⅱ??火车拐弯类

如图2??所示，火车拐弯时，在水平面内做圆周运动，重力mg和轨道支持力N的合力F提供火车拐弯时所需的向心力．圆锥摆、汽车转弯等问题均可归纳为“火车拐弯类”．

合力提供向心力

图2

临界条件??若v=，火车拐弯时，既不挤压内轨也不挤压外轨；若v，火车拐弯时，车轮挤压外轨，外轨反作用于车轮的力的水平分量与F之和提供火车拐弯时所需的向心力；若v，火车拐弯时，车轮挤压内轨，内轨反作用于车轮的力的水平分量与F之差提供火车拐弯时所需的向心力．

?二、两种模型的应用

例1??如图3所示，半径为R的洗衣筒，绕竖直中心轴00转动，小橡皮块P靠在圆筒内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ.现要使小橡皮块P恰好不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为多大?(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

图3???图4

【解析】此题属于“圆台转动类”，当小橡皮块P绕轴00做匀速圆周运动时，小橡皮块P受到重力G、静摩擦力f和支持力N的作用，如图4所示.

其中“恰好”是隐含条件，即重力与最大静摩擦力平衡fmax=G，μN=mg

列出圆周运动方程N=mω2minR

联立解得??ωmin=

??例2??在半径为R的半球形碗的光滑内面，恰好有一质量为m的小球在距碗底高为H处与碗保持相对静止，如图5所示．则碗必以多大的角速度绕竖直轴在水平面内匀速转动?

图5

【解析】此题属于“火车拐弯类”，当小球做匀速圆周运动时，其受到重力G和支持力F的作用，如图5所示.

隐含条件一是小球与碗具有相同的角速度ω，隐合条件二是小球做匀速圆周运动的半径r=Rcosθ．

??列出圆周运动方程Fcosθ=mω2Rcosθ

??竖直方向上由平衡条件有Fsinθ-mg=0

??其中???sinθ=

??联立解得??ω=

例3??长度为2l的细绳，两端分别固定在一根竖直棒上相距为l的A、B两点，一质量为m的光滑小圆环套在细绳上，如图6所示．则竖直棒以多大角速度匀速转动时，小圆环恰好与A点在同一水平面内?

图6

【解析】此题属于“火车拐弯类”，当小圆环做匀速圆周运动时，小圆环受到重力G、绳OB的拉力F和绳OA的拉力F的作用，如图7所示

图7

??隐含条件一是小圆环与棒具有相同角速度ω，隐含条件二是小圆环光滑，两侧细绳拉力大小相等，隐含条件三是小圆环做匀速圆周运动的圆心为A点、半径为r(OA)．

??列出圆周运动方程??F+Fcosθ=mω2r

??由平衡条件有??Fsinθ-mg=0

??其中??cosθ=，sinθ=

联立解得??ω=

练习

1，\t/_blank如图所示，半径为R半球形碗表面光滑，一质量为m小球以角速度ω在碗一做匀速，求小球所做轨道平面离碗底距离h．

\t/_blank如图所示，用长为L细线拴一个质量为m小球，使小球在做匀速，细线与竖直方向间夹角为θ，求：

（1）细线拉力F；

（2）小球周期T

3、如图8所示，质量均为m的A、B两物体用细绳悬着，跨过固定在圆盘中央光滑的定滑轮．物体A与圆盘问的动摩擦因数为μ，离圆盘中心距离R．为使物体A与圆盘保持相对静止，则圆盘角速度ω的取值范围为多少？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）

图8

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4、如图9所示，长度分别为l1和l