【初中数学竞赛】 专题03 方程与恒等变换竞赛综合-50题真题专项训练（全国竞赛专用）解析版.docxVIP

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【初中数学竞赛】

专题03方程与恒等变换竞赛综合-50题真题专项训练

（全国竞赛专用）

一、单选题

1．（2021·全国·九年级竞赛）把三个连续的正整数a，b，c按任意次序（次序不同视为不同组）填入的三个方框中，作为一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．使所得方程至少有一个整数根的a，b，c（????）．

A．不存在 B．有一组 C．有两组 D．多于两组

【答案】C

【详解】设三个连续的正整数分别为，n，（n为大于1的整数）．当一次项系数是或n时，均小于零，方程无实数根；当一次项系数是1时，．

因为n为大于1的整数，所以，要使，n只能取2．

当时，方程均有整数根，故满足要求的（a，b，c）只有两组：、．

2．（2021·全国·九年级竞赛）在方程组中，x，y，z是互不相等的整数，那么此方程组的解的组数为（）

A．6 B．3 C．多于6 D．少于3

【答案】A

【详解】利用，把原方程组转化为解不定方程．

因为

，

所以，从而得，

即．

因此x，y，z中一定是两正一负，且．

又，

则上述两种组合中，只有符合条件．

所以或或或或或

共有6个解．故选A．

二、填空题

3．（2021·全国·九年级竞赛）已知，则________．

【答案】10

【详解】解??因，

由知，

所以，于是，

因此，．

故填10．

4．（2021·全国·九年级竞赛）若，且方程的两根均为奇数，则此方程的根为_________．

【答案】

【详解】填．理由：设是方程的两个根，则

．

因为均为奇数，故为偶数，为奇数．

又，

则．

故．

由，解得．

从而，．

所以，或4，即或．

当时，，符合题意；

当时，与均为无理数，不合题意，舍去．

故原方程的根为．

5．（2021·全国·九年级竞赛）以下算式中，相同的汉字代表相同的数字．已知“神舟”，“号”，那么六位数“飞天神舟六号”=_______．

【答案】102564．

【详解】设“飞天”，“六号”，则题设算式可化为

，

化简得

即，

即．

两边约去13得，即，64与41互质，64整除y．故．

“号”与题设符合．

代入得．

于是“飞天神舟六号”．

6．（2021·全国·九年级竞赛）已知一个矩形的长、宽分别为正整数a，b，其面积的数值等于它的周长的数值的2倍，则______或________．

【答案】????25????18

【详解】根据题意，得，

即，

则．

因为a，b均为正整数，且，所以一定是16的正约数．

当分别取1，2，4，8，16时，代入上式得：

时，；

时，；

时，（舍去）；

时，（舍去）；

时，（舍去）．

因此或18．

故应填25，18．

7．（2021·全国·九年级竞赛）一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过___________．

【答案】4

【详解】设小明摸出的10个球中有x个红球，y个黄球，则蓝球有个．

根据题意，得，

即．

易知，x的最大值是4，即小明摸出的10个球中至多有4个红球．

8．（2021·全国·九年级竞赛）篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，那么其中排球的个数是__________．

【答案】17或9或1

【详解】设足球有x个，排球有y个，则，

即．

当时，；当时，；当时，．

所以排球的个数是17或9或1个．

9．（2021·全国·九年级竞赛）某一次考试共需做20个小题，做对一个得8分，做错一个扣5分，不做的得0分．某学生共得13分，那么这个学生没做的题有_______个．

【答案】7

【详解】设该生做对x个题，做错y个题，没做的题目有z个，则

所以．

又8与13互质，则被13整除．

而，所以，从而．

所以这个学生没做的题有7个．

10．（2021·全国·九年级竞赛）两个正整数的和比积小1997，并且其中一个是完全平方数，则较大数与较小数的差是___________．

【答案】663

【详解】设这两个正整数为．

根据题意，可得，

则，

即．

因为，即，且a，b中有一个是完全平方数，故，

所以

则．

11．（2021·全国·九年级竞赛）某自然数恰好等于它的各位数字和的11倍，则这个自然数是__________．

【答案】198

【详解】所求数不可能是一位数，四位数及四位以上的数．故只考虑两位数及三位数．

（1）设所求自然数是，则，

即，

此方程无满足条件的解．

（2）设所求自然数是，则，

即．

显然x只可能是1，因此，只有一组解：．

故所求的数是198．

12．（2021·全国·九年级竞赛）边长为整数，周长为12的三角形的