【初中数学竞赛】 专题04 函数与不等式竞赛综合-30题真题专项训练（全国竞赛专用）解析版.docx

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【初中数学竞赛】

专题04函数与不等式竞赛综合-30题真题专项训练

（全国竞赛专用）

一、单选题

1．（2021·全国·九年级竞赛）若函数的图象与y轴交点的纵坐标为，则k的值是（????）

A． B． C．或2 D．或

【答案】B

【详解】解??因时，代入函数关系得，即，所以或．故应选D．

注：本题中的函数可以是一次函数，也可以是二次函数．不能一开始就默认它是二次函数，约定，从而错误地选择了B．

2．（2021·全国·九年级竞赛）设，，是三边的长，二次函数在取最小值，则是（????）

A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

【答案】D

【详解】解??依题意可得是直角三角形．故应选D．

注：从前面的例题可以看出，解有关二次函数的最值问题，不仅要熟悉有关二次函数的性质，还要灵活运用相关的不等式知识、几何知识等，才能使问题得到顺利解决．

3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（????）．

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】．

设，则，所以．

故选：B．

4．（2021·全国·九年级竞赛）若，化简结果为（????）．

A． B． C． D．0

【答案】C

【详解】依题意，所以．

故选：C．

5．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（????）种可能．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】理由：设较大的四位数为x，较小的四位数为y，则

，???????????????????????????????????????????????????????????①

且能被10000整除．

而，则能被5000整除．

令．?????????????????????????????????????????????②

由式①②解得

考虑到x，y均为四位数，于是，

解得．

k可取1，2或3．

从而，x可取的值有3个：2767，5267，7767．

6．（2021·全国·九年级竞赛）设为正整数，，，已知，则的值为（????）．

A．1806 B．2005 C．3612 D．4100

【答案】A

【详解】，

，

，

同理．

故选：A．

7．（2021·全国·九年级竞赛）设的三个顶点，，均在抛物线上，并且斜边平行于x轴，若斜边上的高为h，则（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解??设A的坐标为，点C的坐标为，则B点的坐标为．由勾股定理可得，

，

则，

于是，

即．

由于，所以，即斜边上的高（A的纵坐标）（C的纵坐标）．

注：（1）如图仅画出了的情形，在其他情形下，计算是完全相同的．

（2）设，利用勾股定理可得计算A与B的距离的公式为．

8．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a，b，c满足不等式则a，b，c的大小关系是（????）

A． B． C． D．不确定

【答案】B

【详解】解??由已知条件及加法的单调性得

，即

由①，②得（传递性），所以．

由①，③得（传递性），所以．

可见，a，b，c的大小关系是，故选B．

9．（2021·全国·九年级竞赛）设，则下列各式一定成立的是（????）．

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：因，故

，

．

所以．

故选：D．

10．（2021·全国·九年级竞赛）设，且，则满足此等式的不同整数对有（????）对．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】选C．理由：由，得．

又，故可将改写成

，

即．

因此，满足条件的整数对为．共有3对．

二、填空题

11．（2021·全国·九年级竞赛）已知，且满足（表示不超过x的最大整数），则的值等于_______．

【答案】6

【详解】因，所以每一个等于0

或1．由题设知其中恰有18个等于1，

所以

于是，解得所以．故应填6．

12．（2021·全国·九年级竞赛）设正的边长为2，M是边上的中点，P是边上任意一点，的最大值和最小值分别记为s和t，则_______．

【答案】．

【详解】因为，，故当P处于边顶点C这一极端位置时，取最大值，最大值为．

如图4-1，作正，设为的中点，则由得，于是．

连，则，所以，故，并且当A、P、共线时等号成立，即的最小值为，因此，．故应填．

13．（2021·全国·九年级竞赛）已知，是正数，并且二次函数和的图象都与x轴相交，则的最小值是________．

【答案】20

【详解】解??因两条抛物线都与x轴相交，故其判别式及都不小于零，即．

因都是正数，所以

，及，

所以，即的最小值为20．故应填20．

注