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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
【初中数学竞赛】
专题04函数与不等式竞赛综合-30题真题专项训练
(全国竞赛专用)
一、单选题
1.(2021·全国·九年级竞赛)若函数的图象与y轴交点的纵坐标为,则k的值是(????)
A. B. C.或2 D.或
2.(2021·全国·九年级竞赛)设,,是三边的长,二次函数在取最小值,则是(????)
A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形
3.(2021·全国·九年级竞赛)如图,两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和,设点P在上,轴于点C,交于点轴于点D,交于点B,则四边形的面积为(????).
A. B. C. D.
4.(2021·全国·九年级竞赛)若,化简结果为(????).
A. B. C. D.0
5.(2021·全国·九年级竞赛)有两个四位数,它们的差是534,它们平方数的末四位数相同.则较大的四位数有(????)种可能.
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(2021·全国·九年级竞赛)设为正整数,,,已知,则的值为(????).
A.1806 B.2005 C.3612 D.4100
7.(2021·全国·九年级竞赛)设的三个顶点,,均在抛物线上,并且斜边平行于x轴,若斜边上的高为h,则(????)
A. B. C. D.
8.(2021·全国·九年级竞赛)若正数a,b,c满足不等式则a,b,c的大小关系是(????)
A. B. C. D.不确定
9.(2021·全国·九年级竞赛)设,则下列各式一定成立的是(????).
A. B. C. D.
10.(2021·全国·九年级竞赛)设,且,则满足此等式的不同整数对有(????)对.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
11.(2021·全国·九年级竞赛)已知,且满足(表示不超过x的最大整数),则的值等于_______.
12.(2021·全国·九年级竞赛)设正的边长为2,M是边上的中点,P是边上任意一点,的最大值和最小值分别记为s和t,则_______.
13.(2021·全国·九年级竞赛)已知,是正数,并且二次函数和的图象都与x轴相交,则的最小值是________.
14.(2021·全国·九年级竞赛)代数式的最小值是_______.
15.(2021·全国·九年级竞赛)当x变化时,分式的最小值是_______.
16.(2021·全国·九年级竞赛)如图所示,点都在函数的图象上,点都在x轴上,且使得,都是等边三角形,则点D的坐标是_______.
三、解答题
17.(2021·全国·九年级竞赛)已知实数a,b,c满足,证明.
18.(2021·全国·九年级竞赛)设正数a,b,c,x,y,x满足,证明;.
19.(2021·全国·九年级竞赛)已知,证明:中至少有一个不大于.
20.(2021·全国·九年级竞赛)证明:对任意实数x及任意正整数n有.
21.(2021·全国·九年级竞赛)在40与100之间任取一个实数,如果,那么的概率是多少?这是表示不超过的最大整数(要求答案写成最简分数的形式).
22.(2021·全国·九年级竞赛)求的最小值.
23.(2021·全国·九年级竞赛)求时,的最小值.
24.(2021·全国·九年级竞赛)某学生为了描点作出函数的图象,取了自变量7个值:且,分别计算了的值列出下表:
51
107
185
285
407
549
717
但由于粗心算错了其中一个值,请指出算错的是哪一个值?正确值是多少?并说明理由.
25.(2021·全国·九年级竞赛)已知x,y,z都是正数,证明:.
26.(2021·全国·九年级竞赛)求证:对任意的实数x,y,.
27.(2021·全国·九年级竞赛)整数满足条件:,,,…,,求的最小值.
28.(2021·全国·九年级竞赛)函数的图象与x轴的两个交点是否都在直线的右侧,若是,请说明理由;若不一定,请求出两个交点在直线的右侧时,k的取值范围.
29.(2021·全国·九年级竞赛)已知,,为实数,且满足,求的最小值.
30.(2021·全国·九年级竞赛)如图,在直角梯形中,,,两点的坐标分别是,,动点,分别从,两点同时出发,点P以每秒3个单位长的速度沿方向运动,点Q以每秒1个单位长的速度沿线段运动,线段与的交点为D,过D作交于E,射线交x轴于点F,设,运动的时间为t秒.
(1)当t为何值时,以为顶点的四边形是平行四边形,请写出推理过程.
(2)设以为顶点的图形面积为y,求y关于运动时间t的函数关系式,并求出y的最大值.
(3)当t为何值时,为等腰三角形?请写出推理过程.
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