【初中数学竞赛】 专题04 函数与不等式竞赛综合-30题真题专项训练（全国竞赛专用）原卷版.docxVIP

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【初中数学竞赛】

专题04函数与不等式竞赛综合-30题真题专项训练

（全国竞赛专用）

一、单选题

1．（2021·全国·九年级竞赛）若函数的图象与y轴交点的纵坐标为，则k的值是（????）

A． B． C．或2 D．或

2．（2021·全国·九年级竞赛）设，，是三边的长，二次函数在取最小值，则是（????）

A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（????）．

A． B． C． D．

4．（2021·全国·九年级竞赛）若，化简结果为（????）．

A． B． C． D．0

5．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（????）种可能．

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（2021·全国·九年级竞赛）设为正整数，，，已知，则的值为（????）．

A．1806 B．2005 C．3612 D．4100

7．（2021·全国·九年级竞赛）设的三个顶点，，均在抛物线上，并且斜边平行于x轴，若斜边上的高为h，则（????）

A． B． C． D．

8．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a，b，c满足不等式则a，b，c的大小关系是（????）

A． B． C． D．不确定

9．（2021·全国·九年级竞赛）设，则下列各式一定成立的是（????）．

A． B． C． D．

10．（2021·全国·九年级竞赛）设，且，则满足此等式的不同整数对有（????）对．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

11．（2021·全国·九年级竞赛）已知，且满足（表示不超过x的最大整数），则的值等于_______．

12．（2021·全国·九年级竞赛）设正的边长为2，M是边上的中点，P是边上任意一点，的最大值和最小值分别记为s和t，则_______．

13．（2021·全国·九年级竞赛）已知，是正数，并且二次函数和的图象都与x轴相交，则的最小值是________．

14．（2021·全国·九年级竞赛）代数式的最小值是_______．

15．（2021·全国·九年级竞赛）当x变化时，分式的最小值是_______．

16．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，点都在函数的图象上，点都在x轴上，且使得,都是等边三角形，则点D的坐标是_______．

三、解答题

17．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a，b，c满足，证明．

18．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a，b，c，x，y，x满足，证明；．

19．（2021·全国·九年级竞赛）已知，证明：中至少有一个不大于．

20．（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x及任意正整数n有．

21．（2021·全国·九年级竞赛）在40与100之间任取一个实数，如果，那么的概率是多少?这是表示不超过的最大整数（要求答案写成最简分数的形式）．

22．（2021·全国·九年级竞赛）求的最小值．

23．（2021·全国·九年级竞赛）求时，的最小值．

24．（2021·全国·九年级竞赛）某学生为了描点作出函数的图象，取了自变量7个值：且，分别计算了的值列出下表：

51

107

185

285

407

549

717

但由于粗心算错了其中一个值，请指出算错的是哪一个值?正确值是多少?并说明理由．

25．（2021·全国·九年级竞赛）已知x，y，z都是正数，证明：．

26．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x，y，．

27．（2021·全国·九年级竞赛）整数满足条件：，，，…，，求的最小值．

28．（2021·全国·九年级竞赛）函数的图象与x轴的两个交点是否都在直线的右侧，若是，请说明理由；若不一定，请求出两个交点在直线的右侧时，k的取值范围．

29．（2021·全国·九年级竞赛）已知，，为实数，且满足，求的最小值．

30．（2021·全国·九年级竞赛）如图，在直角梯形中，，，两点的坐标分别是，，动点，分别从，两点同时出发，点P以每秒3个单位长的速度沿方向运动，点Q以每秒1个单位长的速度沿线段运动，线段与的交点为D，过D作交于E，射线交x轴于点F，设，运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形，请写出推理过程．

（2）设以为顶点的图形面积为y，求y关于运动时间t的函数关系式，并求出y的最大值．

（3）当t为何值时，为等腰三角形？请写出推理过程．