【初中数学竞赛】 专题06 逻辑推理竞赛综合-50题真题专项训练（全国竞赛专用）解析版.docxVIP

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【初中数学竞赛】

专题06逻辑推理竞赛综合-50题真题专项训练

（全国竞赛专用）

1．（2021·全国·九年级竞赛）有一个黑盒和8个分别标上1，2，…，8的白盒，8个白盒中共有8个球，允许进行如下操作：若标号为的白盒内恰有个球，则取出这个球，分别放入黑盒及标号为1，2，…，的白盒中各一个球．证明：存在唯一一种放法，使得8个球开始都在白盒中，经过有限次操作后，使球全部在黑盒中．

【答案】见解析

【详解】我们用表示黑盒内有个球，编号为的白盒内有个球的状态．题目要证明存在唯一的初始状态满足，使．

先证存在性．若，，定义逆操作如下：．

我们对逐步作逆操作到为止：．反过来，我们从发作8次操作可变到，注意每次操作后，必须保持的状态，才有继续操作到最后的可能（因为若某个，则按题目中的规定，编号为的白盒中个球永远不能取出，移到黑盒中．）

下证唯一性．记．由操作的定义知，每经过一次操作，或者的值不变（取出球的盒子编号小于时）或者的值减少（取出球的盒子编号不小于时），而最后的状态为，即变为，故必有被整除．设，于是，即应是除以的余数，即，于是

，

，

，

，

，

，

，．

于是就是所求的唯一的初始状态．

2．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知矩形ABCD的边AB=21，BC=19，r是给定的小于1的正实数．

(1)在矩形ABCD内任意放入114个直径为1的圆．证明：在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这114个圆都没有交点（也不在某个圆的内部）；

(2)在矩形ABCD内任意放入95个单位正方形（边长为1的正方形）．证明：在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这95个正方形都没有交点（也不在某个正方形的内部）．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析．

【分析】（1）将矩形的每条边向内缩进得到矩形，再把直径为1的小圆缩小为一点O进行考虑，将原直径为1的圆扩大，即以原圆心为圆心，直径为2作114个新的圆，计算可得114个新圆的面积和小于矩形的面积，即可证明在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这114个圆都没有交点（也不在某个圆的内部）；

（2）将矩形的每条边向内缩进得到矩形，再把直径为1的小圆缩小为一点O进行考虑，把每个小正方形加框，即在小正方形的每条边的外部加一个长和宽分别为1和的矩形，4个角上加上一个直径为1的四分之一圆弧，计算此时95个加框图形的面积总和小于矩形的面积，即可证明在矩形ABCD内一定还可以放入一个直径为r的圆，它和这95个正方形都没有交点（也不在某个正方形的内部）．

(1)

解：将矩形的每条边向内缩进，得到一个长和宽分别为20和18的矩形(如图1所示)，则矩形的面积为．对矩形内任意放入的114个直径为1的圆，分别以这114个圆的圆心为圆心，直径为2作114个新的圆(如图2所示)．因为这114个新圆的面积和等于小于矩形的面积．

所以在矩形内，一定存在一点，它在这114个新的圆的外部．因为点到矩形每条边的距离都大于，且点到每个旧圆圆心的距离都大于1，所以以点为圆心，直径为的圆一定在矩形内，且与矩形内原有的114个直径为1的个圆都没有交点，也不在某个圆的内部．

所以在矩形内一定还可以放入一个直径为的圆，它和这114个圆都没有交点(也不在某个圆的内部)．

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图1??????????????????????图2

(2)

将矩形的每条边向内缩进，得到一个长和宽分别为20和18的矩形，则矩形的面积为．对矩形内任意放入的95个单位正方形，将这95个单位小正方形的每一个都加一个框：在小正方形的每条边的外部加一个长和宽分别为1和的矩形，4个角上加上一个直径为1的四分之一圆弧(如图3所示)．

图3

因为这95个加框的图形的面积和等于小于矩形的面积．所以在矩形内，一定存在一点，它在这95个加框的图形的外部．因为点到矩形每条边的距离都大于，且点到每个单位正方形的边上的点的距离都大于，所以以点为圆心，直径为的圆一定在矩形内，且与矩形内原有的95个单位正方形都没有交点，也不在某个正方形的内部．

所以在矩形内一定还可以放入一个直径为的圆，它和这95个正方形都没有交点(也不在某个正方形的内部)．

【点睛】本题主要考查了用创新性数学思维解决实际问题，解题关键是使用“缩”、“放”的构思作为证题技巧．

3．（2021·全国·九年级竞赛）表（1）是一个英文字母显示盒，每一次操作可以使一行4个字母同时改变或者使某列4个字母同时改变，改变的规则是按照英文字母表的顺序，每个字母变成它们下一个字母（即变成，变成，…，变成，变成）．问能否经过有限次操作，使表（1）变成表（2）？如果能，请写出变化过程；如果不能，请说明理由．

（1）????