【初中数学竞赛】 专题02 代数式竞赛综合-50题真题专项训练（全国竞赛专用）解析版.docxVIP

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【初中数学竞赛】

专题02代数式竞赛综合-50题真题专项训练

（全国竞赛专用）

一、单选题

1．（2021·全国·九年级竞赛）已知，则的值是（????）．

A．3 B．9 C．27 D．81

【答案】C

【详解】．故选C．

2．（2021·全国·九年级竞赛）如果是的一个因式，则的值是（????）．

A． B． C．0 D．2

【答案】D

【详解】（解法一）依题意可设，比较系数得所以．故选D．

（解法二）依题意是的因式，

所以，

解得．故选D．

（解法三）用长除法可得，

所以得．故选D．

3．（2021·全国·九年级竞赛）若（是实数），则的值一定是（????）．

A．正数 B．负数 C．零 D．整数

【答案】A

【详解】因为，并且不能同时等于零，所以．故选A．

4．（2021·全国·九年级竞赛）的值为（????）．

A．无理数 B．真分数 C．奇数 D．偶数

【答案】D

【详解】原式．

故选：D．

5．（2021·全国·九年级竞赛）满足等式的正整数对的个数是（????）．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】原式，

而，故，即．

又2003是质数，所以或故选B

6．（2021·全国·九年级竞赛）已知，则的值等于（????）．

A． B．3 C． D．1

【答案】D

【详解】，同理可得，所以．

故选：D．

二、填空题

7．（2021·全国·九年级竞赛）若有一个因式是，则_______．

【答案】-5

【详解】解法一??依题意，原多项式当时，其值等于0，即

，从而．

解法二??依题意也是多项式的因式，故，即．

解法三??依题意可设

比较同次幂系数得

故．

注：虽然解法三计算量较大，但它的好处是同时求出了原多项式的另一个因式为．若题目还要求对原多项式进行因式分解，则解法三是可取的好方法之一．

8．（2021·全国·九年级竞赛）设，是的小数部分，是的小数部分，则__________．

【答案】1

【详解】解??∵，而，

∴．

又∵，而，

∴

．

9．（2021·全国·九年级竞赛）已知x、y为正偶数，且，则__________.

【答案】40

【分析】根据可知xy(x+y)=96，由x、y是正偶数可知xy≥4，x+y≥4，进而可知96可分解成3种乘积的形式，分别计算即可得只有一种情况符合题意，即可求出x、y的值，根据x、y的值求得答案即可.

【详解】∵，

∴xy(x+y)=96，

∵x、y为正偶数，xy≥4，x+y≥4，

∴96=222223=616=812=424

当xy(x+y)=424时，无解，

当xy(x+y)=616时，无解，

当xy(x+y)=812时，x+y=8，xy=12，

解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，

∴x2+y2=22+62=40.

故答案为40

【点睛】本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.

10．（2021·全国·九年级竞赛）已知对任意正整数都有，则___________．

【答案】

【详解】，则

，

所以原式

．

故答案为：．

三、解答题

11．（2021·全国·九年级竞赛）分别在有理数范围内和实数范围内分解因式：．

【答案】

【详解】解??（1）在有理数范围内：

原式

．

（2）在实数范围内：

原式

．

12．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．

【答案】

【详解】解??原式

．

13．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．

【答案】

【详解】解法一??原式

．

解法二??原式

．

14．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．

【答案】

【详解】解法一??原式

．

解法二??原式

．

15．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．

【答案】

【详解】解原式

．

16．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．

【答案】

【详解】解法一??原式

．

解法二??原式

．

17．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．

【答案】

【详解】解法一??原式

．

解法二??原式

．

18．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．

【答案】

【详解】解原式

．

19．（2021·全国·九年级竞赛）若有两个因式和，求的值．

【答案】

【详解】（解法一）因和都是的因式，

所以当和时，的值都等于0，

所以解得

所以．

（解法二）依题意也是的因式，

所以，解得，所以．

（解法三）依题意可设，

所以解出

所以．

20．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式．

【答案】

【详解】设，则原式．

21．（2021·全国·九年级竞赛）在实数范围内分解因式：．

【答案】

【详解】（解法一）原式．

（解法二）用综合除法：

所以，原式．

22．（2021·全国·九年级竞赛）分解因式：．