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线性代数第4-5章自测题(参考答案)

一、填空题(本大题6小题,每小题3分,共18分)

1、设三阶矩阵有一个特征值为，且及的主对角线元素的和为，则的其余两个特征值分别为__0,-1____。

2、二次型的矩阵形式为；

3、设为正交矩阵，为阵的特征根，则=0___；

4、已知4阶方阵A相似于B，且A的特征值为2，3，4，5，I为4阶单位阵，则___24_____________；

5、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，则该方程组的通解为；

6、已知向量组，，，，则该向量组的秩是___4___。

二、单项选择题(本题分6小题,每小题3分,共18分)

1、设三阶方阵的特征值为、、,，则是(D)

满秩阵;秩;秩;。

2、阶方阵能与对角矩阵相似的充分必要条件是(C)

是实对称矩阵.;的个特征值互不相等;

具有个线性无关的特征向量;的特征向量两两正交。

3、若二次型是正定的，则正确的是（C）

A的每一个元素皆正;A的奇数阶前主子式为负;

A的特征值皆正;（D）以上都不对。

4、为正交阵，为对角阵，矩阵为（A）

（A）对称阵.;（B）正交阵；（C）不一定为对称阵；（D）以上均不对。

5、“再添加一个向量后，向量组线性无关”是“向量组线性无关”的（A）

（A）充分条件.;（B）必要条件；（C）充分必要条件；（D）既不充分条件也不必要条件。

6、设A为n阶对称阵，P为n阶可逆，x是A的对应特征值λ的特征向量，则对应λ的特征向量是（C）

（A）.;（B）；（C）；（D）。

三、解答下列各题（本大题共8小题，每小题6分，总计48分）

1、对矩阵,求正交矩阵,使得：

解(1)，特征值

可求得对应于特征值的特征向量

,,

构造正交矩阵和对角矩阵：

，则有．

2、设,,,求向量组的秩。

解：因为,

故线性无关，

该向量组的秩为。

3、设,,,,求向量组的一个最大无关组。

解：

或为最大无关组。

4、求的基础解系。

解：

，

，

,,

5、确定实数的取值范围，使二次型

为正定的。

解：，,,

故当,正定。

6、设是的矩阵，且的秩若已知方程组（不全为零）其两个解向量为试求方程组的通解。

解：记则，又，故方程的通解为： 的通解为：的实数）。

7、设,,

,，问向量能不能由向量组线性表出？为什么？

设

令,对作初等变换

，可见，由于方程组无解，故不能由向量组线性表出。

8、试确定方程在平面直角坐标系中所代表的曲线的名称。

解：设二次型，

，得。

当时，可求得；

当时，可求得；

所以经正交变换

可化成的标准形为，

所绘曲线化成，它代表椭圆。

四、证明下列各题（本大题共3题，每题5-6分，共16分）

1、设向量组线性无关，而,线性相关，证明：如果都不能由线性表出，则向量组与向量组,等价。

证明：由于,线性相关,有不全为的数，使

由于线性无关，故不全为。

若则可由线性表出，与已知矛盾，故此情形不存在。

同样不会有。因此 由此据式知可由线性表出，中的其它向量显然可由线性表出，故可由线性表出。

同理可由线性表出，因而与等价。

2、设λ是方阵A的特征值，X是A的属于λ的特征向量，证明：

（P120例8）

3、设向量组线性无关，而向量组线性相关，证明向量V必可依

线性表出，且表出式是唯一确定的。

证：向量组线性相关，故有不全为零的数，

使…………….…（*）

由反证法可以证明。

若，则就不全为零，而，即有，这与已知线性无关矛盾，故。

于是有，向量必可依线性表出。

设另有……（**）

（*）与（**）式两端相减，，线性无关

，，，即，，

因此，表出式是唯一确定的。