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第19讲利用导数证明不等式
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
【基础巩固】
1.(2022·浙江·杭州高级中学模拟预测)已知数列中,,若,则下列结论中错误的是(???????)
A. B. C. D.
2.(2022·湖北·鄂南高中模拟预测)下列大小比较中,错误的是(???????)
A. B. C. D.
3.(2022·河北衡水中学一模)已知实数,且,为自然对数的底数,则(???????)
A. B. C. D.
4.(2022·福建福州·高三期末)设函数,则(???????)
A.
B.函数有极大值为
C.若,则
D.若,且,则
5.(多选)(2022·湖南·模拟预测)已知,,且,则下列结论一定正确的是(???????)
A. B.
C. D.
6.(2022·河北沧州·二模)已知实数满足,则(???????)
A. B.
C. D.
7.(2022·北京市第九中学模拟预测)已知.
(1)当时,判断函数零点的个数;
(2)求证:.
8.(2022·山东泰安·模拟预测)已知函数.
(1)若函数,讨论的单调性.
(2)若函数,证明:.
9.(2022·湖南·雅礼中学二模)已知.
(1)求的最大值;
(2)求证:(i)存在,使得;
(ii)当存在,使得时,有.
10.(2022·山东省实验中学模拟预测)已知函数.
(1)求函数的最大值;
(2)若关于x的方程有实数根,求实数k的取值范围;
(3)证明:.
11.(2022·天津市咸水沽第一中学模拟预测)已知函数……自然对数底数).
(1)当时,求函数f(x)的单调区间;
(2)当时,
(i)证明:存在唯一的极值点:
(ii)证明:
【素养提升】
1.(2022·重庆八中高三阶段练习)已知为常数,函数有两个极值点,则(???????)
A. B. C. D.
2.(2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测)已知函数.
(1)求的极值点.
(2)若有且仅有两个不相等的实数满足.
(i)求k的取值范围
(ⅱ)证明.
3.(2022·浙江省江山中学模拟预测)函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个零点,且,
①证明:;
②证明:.(注:为自然对数的底数)
第19讲利用导数证明不等式
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
【基础巩固】
1.(2022·浙江·杭州高级中学模拟预测)已知数列中,,若,则下列结论中错误的是(???????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解:A.由题得所以该选项正确;
B.由题得,,所以,当时,也满足,所以,所以该选项正确;
C.由前面得,,
所以也适合,所以.
设,所以函数在单调递减,所以所以,所以,,,所以所以,所以该选项正确;
D.,所以该选项错误.
故选:D
2.(2022·湖北·鄂南高中模拟预测)下列大小比较中,错误的是(???????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解:对于选项D,构造函数,所以,
所以当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减.
所以.(当且仅当时取等)
则令,则,化简得,故,
故,故,所以选项D错误;
对于选项A,,
在中,令,则,化简得,故,
所以.所以,所以选项A正确;
对于选项B,在中,令,则,所以,所以选项B正确;
对于选项C,所以,所以选项C正确.
故选:D
3.(2022·河北衡水中学一模)已知实数,且,为自然对数的底数,则(???????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以,
函数在上单调递增,且,因为
所以,所以,即,
又,所以,所以,即,综上,.
故选:D
4.(2022·福建福州·高三期末)设函数,则(???????)
A.
B.函数有极大值为
C.若,则
D.若,且,则
【答案】A
【解析】A.,故正确;
B.求导,令,得,
当时,,当时,,
所以当时,函数有极小值为,故错误;
C.因为,所以,
则,
,
,
令,则,
令,得或,
当或,,当时,,
故无最小值,故错误;
D.,因为,且,所以,
由B知在上递减,在上递增,
所以,
因为的大小不确定,故无法判断的大小,故错误;
故选:A
5.(多选)(2022·湖南·模拟预测)已知,,且,则下列结论一定正确的是(???????)
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】令,则,
所以当时,,所以在上单调递增;
由得,即,
∵,∴,
∴,即,
∴,即,∴,A正确;
由知,所以,所以选项B错误;
由知,所以选项C正确.
由,知,所以,
所以D错误,
故选:AC.
6.(2022·河北沧州·二模)已知实数满足,则(???
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