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16-17版1.1基本计数原理（二）汇报人：AA2024-01-17

目录计数原理基本概念加法计数原理乘法计数原理排列与组合基本概念排列组合问题求解方法经典案例分析

01计数原理基本概念

0102计数原理定义它涉及到排列、组合、概率等多个数学分支，是解决实际问题的重要工具。计数原理是数学中的一个基本概念，用于确定在给定条件下不同对象的数量。

在计数原理中，计数的对象可以是任何具有明确界定和可区分特征的事物，例如人、物品、事件等。计数对象根据计数对象的不同特征和条件，可以采用不同的计数方法。常见的计数方法包括枚举法、排列法、组合法等。计数方法计数对象与计数方法

数学领域计算机科学物理和工程领域社会科学计数原理应用领数原理在数学领域有着广泛的应用，如组合数学、图论、概率论等。在计算机科学中，计数原理被用于算法分析和设计、数据结构等领域。在物理和工程领域，计数原理被用于解决各种实际问题，如电路设计、信号处理等。在社会科学中，计数原理被用于研究人口统计、选举结果分析等问题。

02加法计数原理

定义：加法计数原理，又称分类计数原理，是指完成一件事有$n$类不同的方法，在第$1$类方法中有$m{1}$种不同的方法，在第$2$类方法中有$m{2}$种不同的方法，$\ldots$，在第$n$类方法中有$m{n}$种不同的方法。那么完成这件事共有$N=m{1}+m{2}+\ldots+m{n}$种不同的方法。加法计数原理定义

举例一从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘飞机。一天中火车有$4$班，汽车有$2$班，飞机有$1$班。那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法？举例二在一张试卷中有4道选择题和3道填空题，某考生只知道选择题的答案，但不知道填空题的答案。若该考生随机猜测填空题的答案，则他答对这道试卷的可能性有多少种？加法计数原理应用举例

加法计数原理注意事项注意事项一加法计数原理适用于完成一件事有$n$类不同的方法的情况。对于每一类方法，都可以独立地完成这件事。注意事项二在使用加法计数原理时，需要确保各类方法之间是互斥的，即每种方法只能被归类到其中的某一类中。注意事项三加法计数原理中的每一类方法都可以包含多种具体的实现方式。在计算总的方法数时，需要将各类方法中的具体实现方式数目相加。

03乘法计数原理

定义：乘法计数原理，也称为乘法原则，是一种基本的计数方法。它表明，如果一项任务可以分为两个连续的、独立的步骤，且第一步有m种不同的方法，第二步有n种不同的方法，则完成这项任务共有m×n种不同的方法。乘法计数原理定义

从A地到B地有3条路可走，从B地到C地有4条路可走。则从A地经B地到C地共有3×4=12条不同的路线。举例1一个密码由2个数字组成，每个数字都可以是0-9中的任意一个。则这样的密码共有10×10=100个。举例2一个班级有5个男生和4个女生，要从中选出一个男生和一个女生作为代表。则不同的选法共有5×4=20种。举例3乘法计数原理应用举例

注意事项2在应用乘法计数原理时，需要确保每个步骤中的方法数是准确的。如果某个步骤的方法数计算错误，则最终的结果也会出错。注意事项1乘法计数原理适用于连续且独立的步骤。如果步骤之间存在依赖关系或不是独立的，则不能直接应用乘法计数原理。注意事项3乘法计数原理可以推广到多个步骤的情况。如果一项任务可以分为多个连续的、独立的步骤，则完成这项任务的总方法数是各步骤方法数的乘积。乘法计数原理注意事项

04排列与组合基本概念

排列定义从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列。排列公式$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$，其中$A_n^m$表示从n个元素中取出m个元素的排列数。排列定义及公式

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合。$C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}$，其中$C_n^m$表示从n个元素中取出m个元素的组合数，$n!$表示n的阶乘。组合定义及公式组合公式组合定义

排列与组合关系区别排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。联系排列数$A_n^m$与组合数$C_n^m$之间存在关系：$A_n^m=C_n^mtimesm!$。这是因为排列是在组合的基础上考虑元素的顺序，因此排列数等于组合数与元素顺序的乘积。

05排列组合问题求解方法

对于特殊元素或特殊位置，优先进行安排，再处理其他元素。优先安排法先求出总的排列或组合数，再减去不符合特殊条件的情况数。间接法特殊元素和特殊位置问题

将相邻的元素看作一个整体，与其他元素进行排列组合，最后考虑相邻元素内部的排列。捆绑法先考虑其他元素的排列，再将相邻元素插