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概率论与数理统计5置信区间汇报人：AA2024-01-19

目录contents置信区间基本概念单个总体参数置信区间两个总体参数比较置信区间线性回归模型参数置信区间置信区间在假设检验中应用总结与展望

01置信区间基本概念

在统计学中，一个概率样本的置信区间（ConfidenceInterval）是对这个样本的某个总体参数的区间估计。置信区间定义置信区间具有随机性，即每次抽样得到的置信区间可能不同；同时，置信区间具有可靠性，即当置信水平确定时，通过大量重复抽样得到的多个置信区间中，包含总体参数真值的比例接近于所设定的置信水平。置信区间性质定义与性质

置信水平定义置信水平是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率。置信水平与置信区间关系置信水平越高，置信区间越宽，即估计的精度越低；反之，置信水平越低，则精度越高。这是因为高的置信水平需要更大的区间来确保总体参数被包含在内。置信水平与置信区间关系

当样本量足够大时，样本均值服从正态分布。此时，置信区间可采用正态分布的性质进行构造，形式为$(bar{x}-z_{alpha/2}frac{sigma}{sqrt{n}},bar{x}+z_{alpha/2}frac{sigma}{sqrt{n}})$，其中$bar{x}$为样本均值，$z_{alpha/2}$为标准正态分布下$alpha/2$分位数，$sigma$为总体标准差，$n$为样本量。当总体标准差未知且样本量较小时，可采用$t$分布构造置信区间。形式为$(bar{x}-t_{alpha/2,n-1}frac{s}{sqrt{n}},bar{x}+t_{alpha/2,n-1}frac{s}{sqrt{n}})$，其中$t_{alpha/2,n-1}$为自由度为$n-1$的$t$分布下$alpha/2$分位数，$s$为样本标准差。针对不同的总体分布和样本量大小，还可采用其他分布（如卡方分布、$F$分布等）构造相应的置信区间。具体形式需根据具体情况而定。正态分布下的置信区间$t$分布下的置信区间其他分布下的置信区间常见分布下置信区间形式

02单个总体参数置信区间

在正态分布下，对于给定的置信水平$1-alpha$，由样本数据构造的总体均值$mu$的置信区间是一个随机区间，它以$1-alpha$的概率包含$mu$。置信区间定义若$X_1,X_2,...,X_n$是来自正态总体$N(mu,sigma^2)$的样本，$bar{X}$是样本均值，$S^2$是样本方差，则对于给定的置信水平$1-alpha$，$mu$的置信区间为$(bar{X}-z_{alpha/2}frac{S}{sqrt{n}},bar{X}+z_{alpha/2}frac{S}{sqrt{n}})$，其中$z_{alpha/2}$是标准正态分布的上$alpha/2$分位数。置信区间构造正态分布总体均值置信区间

置信区间定义在正态分布下，对于给定的置信水平$1-alpha$，由样本数据构造的总体方差$sigma^2$的置信区间是一个随机区间，它以$1-alpha$的概率包含$sigma^2$。置信区间构造若$X_1,X_2,...,X_n$是来自正态总体$N(mu,sigma^2)$的样本，$bar{X}$是样本均值，$S^2$是样本方差，则对于给定的置信水平$1-alpha$，$sigma^2$的置信区间为$(frac{(n-1)S^2}{chi^2_{1-alpha/2}(n-1)},frac{(n-1)S^2}{chi^2_{alpha/2}(n-1)})$，其中$chi^2_{1-alpha/2}(n-1)$和$chi^2_{alpha/2}(n-1)$分别是自由度为$n-1$的卡方分布的上$1-alpha/2$分位数和下$alpha/2$分位数。正态分布总体方差置信区间

置信区间定义在非正态分布下，对于给定的置信水平$1-alpha$，由样本数据构造的总体参数的置信区间是一个随机区间，它以$1-alpha$的概率包含该参数。置信区间构造对于非正态分布总体参数，通常需要通过变换或利用中心极限定理等方法将其转化为近似正态分布或已知分布的形式，然后按照相应的分布性质构造置信区间。具体方法因参数类型和分布特性而异。非正态分布总体参数置信区间

03两个总体参数比较置信区间

123两个总体服从正态分布，且相互独立。前提条件利用两个样本均值差的抽样分布，结合标准正态分布或t分布的性质，构造出均值差的置信区间。构造方法根据给定的显著性水平α，确定置信区间的置信水平为1-α。置信水平两个正态分布总体均值差置信区间

前提条件两个总体服从正态分布，且相互独立。构造方法利用两个样本方差比的抽样分布，结合F分布或卡方分布的性质，构造出方差比的置信区间。置信水平根据给定的显著性水平α，确定