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19-20版2.2.1平面向量基本定理汇报人：AA2024-01-14

CATALOGUE目录平面向量基本定理概述平面向量的线性运算平面向量的坐标表示平面向量基本定理的应用典型例题解析

01平面向量基本定理概述

在平面内既有大小又有方向的量称为平面向量。定义与性质平面向量长度为0的向量称为零向量，记作0。零向量长度为1的向量称为单位向量。单位向量方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也称为共线向量。平行向量（共线向量）长度相等且方向相同的向量称为相等向量。相等向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。相反向量

向量的叉乘（外积）两向量的叉乘结果是一个向量，垂直于原两向量所在的平面。向量的点乘（内积）两向量的点乘结果是一个实数，表示两向量的相似程度。向量的数乘实数与向量的乘积，满足数乘的运算律。向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则。向量的减法与加法相对应，结果指向被减数。几何意义

在平面直角坐标系中，可以用一对实数来表示一个平面向量，这对实数称为该向量的坐标。向量的坐标表示两非零向量之间的夹角θ满足0≤θ≤π，当θ=0时，两向量同向；当θ=π时，两向量反向；当0θπ时，两向量不共线。向量的夹角向量的长度称为向量的模，记作|a|。向量的模满足交换律、结合律、分配律等基本的运算规律。向量的运算数表示

02平面向量的线性运算

向量加法定义向量加法性质向量减法定义向量减法性质向量的加法与减个向量相加，即将它们的对应分量相加，结果仍是一个向量。满足交换律和结合律，即a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。向量a减去向量b，等于向量a加上向量b的反向量，即a-b=a+(-b)。满足反身性，即a-a=0；不满足交换律和结合律。

一个数与一个向量的乘积，是将向量的每个分量都乘以这个数，结果仍是一个向量。向量数乘定义向量数乘性质单位向量与零向量满足结合律和分配律，即(λμ)a=λ(μa)，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb。模长为1的向量称为单位向量；模长为0的向量称为零向量，零向量与任何向量的数乘结果都是零向量。030201向量的数乘

123若干个向量与一个数的乘积之和称为这些向量的线性组合。向量线性组合定义如果存在不全为零的数k1,k2,…,kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0，则称向量组a1,a2,…,an线性相关；否则称向量组线性无关。线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。极大线性无关组与向量组的秩向量的线性组合

03平面向量的坐标表示

定义在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj。因此，把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。性质向量的坐标表示具有唯一性。向量的坐标

向量的模与方向角向量的模向量a的大小，也就是向量a的长度（或称模），记作|a|。方向角非零向量a与x轴正方向的夹角叫做向量a的方向角。性质向量的模是一个非负实数，方向角是一个[0,π]内的角。

已知向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，则向量a+向量b=(x1+x2,y1+y2)。加法运算已知向量a=(x1,y1)，向量b=(x2,y2)，则向量a-向量b=(x1-x2,y1-y2)。减法运算实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，且|λa|=|λ|*|a|。当λ0时，λa与a同方向；当λ0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa是零向量。数乘运算向量的坐标运算

04平面向量基本定理的应用

共线向量定理内容向量a与向量b共线的充要条件是存在唯一实数λ，使得a=λb。共线向量定理的应用用于证明向量共线、求解向量方程等。共线向量定义方向相同或相反的非零向量称为共线向量。共线向量定理

共面向量定义平行于同一平面的两个或多个向量称为共面向量。共面向量定理内容如果两个向量a和b不共线，那么向量c与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的一对实数x和y，使得c=xa+yb。共面向量定理的应用用于证明向量共面、求解向量方程等。共面向量定理

平面向量基本定理内容：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数x和y，使得a=xe1+ye2。平面向量基本定理在几何中的应用用于证明几何定理，如平行四边形的性质、三角形的重心性质等。用于解决几何问题，如求解三角形的面积、判断点是否在多边形内等。用于建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题进行处理。平面向量基本定理在几何中的应用

05典型例题解析

已知向量$vec{a}=(1,2)$，$vec{b}=(2,1)$，求$vec{