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概率论与数理统计二维离散随机变量及其分布汇报人：AA2024-01-19

目录contents二维离散随机变量基本概念二维离散随机变量常见分布类型二维离散随机变量条件分布与独立性二维离散随机变量函数及其分布期望、方差和协方差及相关系数计算大数定律和中心极限定理在二维离散随机变量中应用

二维离散随机变量基本概念01

设$X$和$Y$是两个随机变量，如果对于任意实数$x$和$y$，二元函数$p(x,y)$满足非负性、规范性、可列可加性，则称$(X,Y)$为二维离散随机变量，称$p(x,y)$为$(X,Y)$的联合概率分布律，简称分布律。定义二维离散随机变量的性质包括非负性、规范性和可列可加性。其中非负性指的是对于所有可能的取值$(x,y)$，都有$p(x,y)geq0$；规范性指的是所有可能取值的概率之和等于1，即$sum_{x}sum_{y}p(x,y)=1$；可列可加性指的是对于任意两个不相交的事件$A$和$B$，有$P(AcupB)=P(A)+P(B)$。性质定义与性质

定义对于二维离散随机变量$(X,Y)$，其所有可能取值的概率分布称为$(X,Y)$的联合分布律。联合分布律可以用表格或矩阵的形式表示，其中行表示$X$的取值，列表示$Y$的取值，表格中的元素表示对应取值的联合概率。求解方法求解联合分布律的方法通常包括直接计算法、条件概率法和全概率公式法。其中直接计算法是根据随机试验的基本事件及其概率直接计算出联合概率；条件概率法是根据条件概率的定义和性质求解联合概率；全概率公式法则是利用全概率公式和条件概率的定义求解联合概率。联合分布律

对于二维离散随机变量$(X,Y)$，分别考虑$X$和$Y$各自取值的概率分布，称为$(X,Y)$的边缘分布律。边缘分布律可以通过对联合分布律进行求和得到。定义求解边缘分布律的方法通常包括直接计算法和求和法。其中直接计算法是根据随机试验的基本事件及其概率直接计算出边缘概率；求和法则是通过对联合分布律中的某一变量进行求和得到另一变量的边缘分布律。例如，对于离散型随机变量$X$的边缘分布律为$p_X(x)=sum_{y}p(x,y)$，对于离散型随机变量$Y$的边缘分布律为$p_Y(y)=sum_{x}p(x,y)$。求解方法边缘分布律

二维离散随机变量常见分布类型02

二项分布E(X)=np，D(X)=np(1-p)。期望和方差在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验成功的概率为p，则X~B(n,p)表示成功次数的概率分布。定义P{X=k}=C_n^kp^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,...,n。概率质量函数

定义泊松分布是一种描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布，记作P(λ)。概率质量函数P{X=k}=(λ^k/k!)e^(-λ)，k=0,1,2,...。期望和方差E(X)=λ，D(X)=λ。泊松分布

定义在伯努利试验中，记每次试验成功的概率为p，则首次成功所需试验次数的概率分布称为几何分布。概率质量函数P{X=k}=(1-p)^(k-1)p，k=1,2,3,...。期望和方差E(X)=1/p，D(X)=(1-p)/p^2。几何分布

概率质量函数P{X=k}=[C_M^kC_(N-M)^(n-k)]/C_N^n，k=0,1,2,...,min{n,M}。期望和方差E(X)=(nM)/N，D(X)=[n(M/N)(1-M/N)(N-n)/(N-1)]。定义在N个物品中有M个指定类型的物品，从中随机抽取n个物品，则抽中指定类型物品个数的概率分布称为超几何分布。超几何分布

二维离散随机变量条件分布与独立性03

定义设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Y=yj}0，则称P{X=xi|Y=yj}=P{X=xi,Y=yj}/P{Y=yj}为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。性质条件分布律描述了在一个随机变量取特定值的条件下，另一个随机变量的分布情况。求解方法通过已知的联合概率分布表或公式，可以计算出条件分布律。010203条件分布律

独立性判断及性质如果对于所有的xi和yj，均有P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}，则称随机变量X和Y是相互独立的。性质相互独立的随机变量意味着一个随机变量的取值不会影响另一个随机变量的取值。判断方法通过比较联合概率与边缘概率的乘积，可以判断两个随机变量是否相互独立。定义

医学诊断在医学诊断中，可以利用二维离散随机变量的条件分布律和独立性来判断疾病与症状之间的关系，以及疾病的诊断准确性。可靠性工程在可靠性工程中，可以利用二维离散随机变量的条件分布律和独立性来分析系统的可靠性，以及各部件之间的相互影响。金融风险管理在金融风险管理领域，可以利用二维