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概率与数理统计

汇报人：AA

2024-01-19

概率论基本概念

一维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布

数理统计基本概念

假设检验与方差分析

回归分析初步

目录

概率论基本概念

随机事件

在一定条件下并不总是发生，而且人们事先不能确知其是否发生的事件。

概率

表示随机事件发生可能性大小的数值。

概率的性质

非负性、规范性、可加性。

条件概率

在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记作P(B|A)。

独立性

如果事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。

条件概率与独立性的关系

如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)=P(B)。

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02

01

一维随机变量及其分布

定义

取值可数的随机变量称为离散型随机变量。

常见离散型随机变量分布

二项分布、泊松分布、几何分布等。

分布律

描述离散型随机变量取各个值的概率，常用分布列表示。

取值充满某个区间的随机变量称为连续型随机变量。

定义

描述连续型随机变量在某个点的“概率强度”，具有非负性和规范性。

概率密度

正态分布、均匀分布、指数分布等。

常见连续型随机变量分布

定义：随机变量的函数是指将随机变量的取值通过某种函数关系进行变换后得到的新的随机变量。

离散型随机变量的函数分布：通过分布律的变换求得。

连续型随机变量的函数分布：通过概率密度的变换和积分求得，需注意变换后的取值范围和概率密度的规范性。

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多维随机变量及其分布

二维随机变量的定义

设$X$和$Y$是两个随机变量，则称$(X,Y)$为二维随机变量。

联合分布函数

对于任意实数$x,y$，二元函数$F(x,y)=P{Xleqx,Yleqy}$称为二维随机变量$(X,Y)$的联合分布函数。

联合概率密度函数

如果存在非负函数$f(x,y)$，使得对于任意实数$x,y$，有$F(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f(u,v)dudv$，则称$f(x,y)$为二维随机变量$(X,Y)$的联合概率密度函数。

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边缘分布函数

边缘概率密度函数

条件分布函数

条件概率密度函数

二维随机变量$(X,Y)$关于$X$的边缘分布函数定义为$F_X(x)=P{Xleqx}$，关于$Y$的边缘分布函数定义为$F_Y(y)=P{Yleqy}$。

如果$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)$，则$X$的边缘概率密度函数为$f_X(x)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dy$，$Y$的边缘概率密度函数为$f_Y(y)=int_{-infty}^{infty}f(x,y)dx$。

设$(X,Y)$的联合分布函数为$F(x,y)$，关于$Y=y$的条件分布函数定义为$F_{X|Y}(x|y)=frac{F(x,y)}{F_Y(y)}$，关于$X=x$的条件分布函数定义为$F_{Y|X}(y|x)=frac{F(x,y)}{F_X(x)}$。

如果$(X,Y)$的联合概率密度函数为$f(x,y)$，则关于$Y=y$的条件概率密度函数为$f_{X|Y}(x|y)=frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$，关于$X=x$的条件概率密度函数为$f_{Y|X}(y|x)=frac{f(x,y)}{f_X(x)}$。

数理统计基本概念

研究对象的全体个体组成的集合，通常用一个分布函数来描述。

总体

从总体中随机抽取的一部分个体组成的集合，用于推断总体的性质。

样本

样本中包含的个体数目，通常用n表示。

样本容量

统计量

样本的函数，用于描述样本的特征，如样本均值、样本方差等。

抽样分布

统计量的概率分布，描述了统计量在多次抽样中的分布情况。

常见抽样分布

正态分布、t分布、F分布、卡方分布等。

03

评价标准

无偏性、有效性、一致性等。

01

点估计

用一个具体的数值来估计总体参数的方法，如样本均值估计总体均值。

02

区间估计

用一个区间来估计总体参数的方法，该区间以一定的概率包含总体参数的真值。

假设检验与方差分析

原假设通常是研究者想要推翻的假设，而备择假设则是研究者希望证实的假设。

原假设与备择假设

检验统计量是根据样本数据计算出的用于判断原假设是否成立的统计量，而拒绝域则是当检验统计量落在某个特定范围内时，我们拒绝原假设的区域。

检验统计量与拒绝域

显著性水平是事先设定的用于判断原假设是否成立的标准，而P值则是在原假设下观察到当前样本数据或更极端数据的概率。

显著性水平与P值

用于比较样本均值与已知总体均值是否有显著差异。

单样本t检验

用于比较两个独立样本均值是否有显著差异，包括等方差和异方差两种情况。

双样本t检验

用于比较同一组受试者在两个不同条件下的差异，例如前后测量或对照实验。

配对样本t检验