《概率论与数理统计》-随机变量及其分布.pptxVIP

《概率论与数理统计》-随机变量及其分布汇报人：AA2024-01-19BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA

目录CONTENTS随机变量基本概念常见离散型随机变量分布常见连续型随机变量分布随机变量数字特征多维随机变量及其分布随机变量在实际问题中应用举例

BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA01随机变量基本概念

定义与性质随机变量定义随机变量是定义在样本空间上的实值函数，它将样本空间中的每一个样本点映射到一个实数。随机变量性质随机变量具有可测性，即对于任意实数x，事件{X≤x}都是一个随机事件，且其概率可以被定义和计算。

取值可数的随机变量，如投掷骰子得到的点数。离散型随机变量的概率分布可以用概率质量函数来描述。取值充满某个区间的随机变量，如测量某物体的长度。连续型随机变量的概率分布可以用概率密度函数来描述。离散型与连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量

分布函数描述随机变量取值小于等于某个值的概率，记作F(x)=P{X≤x}。对于离散型随机变量，分布函数是阶梯状的；对于连续型随机变量，分布函数是连续的。概率密度函数描述连续型随机变量的概率分布情况，记作f(x)。概率密度函数满足非负性和规范性，即f(x)≥0且∫f(x)dx=1。通过概率密度函数，可以计算随机变量在某个区间内的概率。分布函数与概率密度函数

BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA02常见离散型随机变量分布

03期望与方差E(X)=np，D(X)=np(1-p)。01定义在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验成功的概率为p，则成功次数X服从参数为(n,p)的二项分布。02概率质量函数P{X=k}=C_n^kp^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,...,n。二项分布

定义泊松分布是一种描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。参数λ表示单位时间内随机事件的平均发生率。概率质量函数P{X=k}=(λ^k/k!)e^(-λ)，k=0,1,2,...。期望与方差E(X)=λ，D(X)=λ。泊松分布

定义在伯努利试验中，记每次试验中事件A发生的概率为p，试验进行到事件A首次出现为止，此时所进行的试验次数X服从参数为p的几何分布。概率质量函数P{X=k}=(1-p)^(k-1)p，k=1,2,3,...。期望与方差E(X)=1/p，D(X)=(1-p)/p^2。几何分布

概率质量函数P{X=k}=C_M^kC_(N-M)^(n-k)/C_N^n，k=0,1,2,...,min{n,M}。期望与方差E(X)=nM/N，D(X)=(nM/N)(1-M/N)((N-n)/(N-1))。定义在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品的概率分布称为超几何分布。超几何分布

BIGDATAEMPOWERSTOCREATEANEWERA03常见连续型随机变量分布

定义01在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。性质02均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U(a,b)。应用03均匀分布在自然情况下极为罕见，同样来由的是指数分布，例如1小时内的某一分钟到达公共汽车站的乘客数，电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数，灯泡的寿命等等。均匀分布

指数分布定义：指数分布是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。性质：许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况。应用：在日本的工业标准和美国军用标准中，半导体器件的抽验方案都是采用指数分布。此外，指数分布还广泛用来描述大型复杂系统（如计算机）的平均故障间隔时间MTBF的失效分布。但是，由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性。因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以后的工作寿命值。

正态分布（Normaldistribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussiandistribution），最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X服从一个