微分几何简介.pdfVIP

微分几何学历史简介

清华大学周坚

我们借用杨振宁先生的以下诗句来开始对几何学的一个简介：

天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，

四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。

最后一句诗提到了五位伟大的几何学家：

Euclid,Gauss,Riemann,Cartan,和陈省身。其中，Euclid为古希腊人，

Gauss和Riemann为十九世纪德国人，Cartan为二十世纪法国人。陈

省身先生二十世纪三十年代在清华大学数学系读硕士，抗日战争中在

西南联大任教授，现定居于南开大学。下文参考了他写的“九十初度

说数学”。

几何是geometry的音译。其词头geo是“土地”的意思,词尾metry

是“测量学”的意思,合起来是“土地测量学”的意思。这反映了几

何学起源于实际问题。

Euclid写了一本书“Elements”,中文译名为“几何原本”，内容包含

平面几何学、空间几何学和数论，总结了古希腊的很多数学知识，可

能是从古至今影响最大的科学著作。

中学课本中的平面几何学内容大都来源于“Elements”,从中可以学

到古希腊人用以逻辑为基础的理性思维进行科学研究的方法。

Einstein认为一个人如果在年轻时对平面几何从没产生过兴趣的话，

恐怕很难在科学上做出重要发现。几何学的下一个进展由哲学家

Descarte取得，据说他身体不好，经常需要卧床休息，有一次看到在

墙角织网的蜘蛛，受启发引进了坐标的概念。由此产生了解析几何

学，使得代数方法可以在几何问题中应用。例如，圆周、椭圆、双

曲线、抛物线等古希腊人即开始研究的几何对象有很简单的代数描

述。

解析几何学促进了微积分的诞生。由Newton和Leibnitz创立的这门

学问在现代科学中的重要性是不用赘述的。将微积分应用于几何问

题的研究就是所谓微分几何。最初研究的是三维空间中的曲线、曲面。

Gauss于1827年写了一本50页左右的小书，研究曲面的微分几何，

包括大学学的微分几何的主要内容。这本书标志着微分几何学的诞

生。Gauss当时主持一项土地测量的的项目，他写这本是为了给这项

工作一个理论基础。Gauss也是非欧几何学（non-Euclideangeometry)

的创始人之一。需要指出的是Gauss工作的主要领域是数论。

同Gauss一样，Riemann工作的主要领域也不是几何学，而是单复变

函数，但他是现代微分几何与解析数论的创始人。在他为取得大学教

授资格的公开讲演中，Riemann提出了微分几何学发展的新思想，其

中包括流形、Riemann度量、Riemann曲率等重要概念。简单的说，

就是用局部坐标和坐标变换来描述一个空间，用Riemann度量做最基

本的几何量，空间的几何性质如弯曲程度由度量用特定方式决定。

Riemann的工作由Christoffel、Ricci、Levi-Civita等人发展，后来成

为Einstein创立的广义相对论的数学基础。简单的说，广义相对论将

物理量解释为几何量。具体的说，空间和时间结合在一起由一个流形

描述：不同的参照系给出不同的局部坐标；不同参照系之间的关系即

是坐标变换。时空流形的度量由所谓Lorentz度量给出，象Riemann

几何一样计算出曲率等几何量。Einstein方程说：时空的物理量（能

量动量张量）等于时空的几何量（Ricci曲率张量）。Einstein的工作

激发了数学家对微分几何的兴趣，从而极大地促进了这门学科的发

展。数学家和物理学家当时关心的自然的问题是Maxwell的电磁理论

的几何化和引力理论与电磁理论的统一。Einstein后期致力于大统一

理论的研究没有取得有意义的进展，一个重要的原因可能是他没有利

用广义相对论出现以后发展的几何学。

数学家Hilbert、Weyl和Cartan都对以上问题做过研究。他们的工作

突出了流形上联络的重要性，他们都对数学上用来描述连续对称性的

Lie群的研究做出过重大贡献。Cartan的工作为现代微分几何的发展

奠定了基础。他引进的微分形式理论是研究流形的代数拓扑的基本工

具，纤维丛及其联络成为几何学的基本研究对象。Weyl提出的规范

原理后来被杨振宁等人发展为规范场论，成为各种统一理论的基础。

杨振宁先生上一世纪五十年代提出规范场论时并不清楚与几何